6.2. Задачи

Задача 6.1. Произведена 10%-ная механическая выборка для изучения величины сменной выработки токарей завода. Выборка дала следующие результаты:

Группы рабочих по величине сменной выработки, шт.	до 80	80-90	90-100	100-110	110 и более
Число рабочих	5	20	60	8	7

Определите:

1) значения средней сменной выработки и дисперсии;

2) пределы (границы) среднего уровня сменной выработки всех токарей завода с вероятностью 0,997 (t=3);

3) пределы значений доли токарей, вырабатывающих за смену от 80 до 100 деталей с вероятностью 0,954 (t=2);

4) необходимую численность выборки при определении величины средней сменной выработки токарей с тем, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка выборки не превышала 2 деталей;

5) необходимую численность выборки при определении доли токарей, вырабатывающих за смену от 80 до 100 деталей с тем, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 5%.

Задача 6.2. Для определения среднего процента зольности угля из разных вагонов в порядке собственно-случайной выборки взяли 400 проб. Получены следующие результаты распределения проб угля по содержанию золы:

Процент зольности проб угля	до 10	10-12	12-14	14-16	16-18	18 и более
Число проб	20	80	200	60	30	10

Вычислите:

1) средний процент зольности проб угля и значение дисперсии;

2) границы среднего процента зольности угля для всего состава вагонов с вероятностью 0,997 (t=3);

3) границы доли проб угля с процентом зольности от 12 до 14 с вероятностью 0,954 (t=2);

4) необходимое число проб в выборке при определении среднего процента зольности угля с тем, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка выборки не превышала бы 0,4 %;

5) необходимое число проб в выборке при определении доли образцов угля с процентом зольности от 12 до 14 с тем, чтобы с вероятность 0,954 предельная ошибка выборки для доли не превышала бы 5%.

Задача 6.3 . Какова должна быть численность выборки при обследовании поступающих в магазин радиоламп, чтобы ошибка выборки доли ламп, не удовлетворяющих требованиям стандарта качества, с вероятностью 0,997 (t=3) не превышала 6%. По данным предыдущих обследований 10% поступивших радиоламп не удовлетворяли установленным стандартам качества. Отбор повторный.

Задача 6.4. В результате выборочной механической проверки 400 готовых изделий обнаружено 40 штук бракованных. С вероятностью 0,954 (t=2) определите пределы, в которых будет заключена доля бракованных изделий во всей партии, состоящей из 4000 штук.

Задача 6.5. Если доля выборки в генеральной совокупности составит 19%, то при всех прочих условиях на сколько процентов уменьшится ошибка выборки при бесповторном отборе по сравнению с повторным? Дайте строго математическое обоснование ответа на поставленный выше вопрос.

Задача 6.6. С вероятностью 0,997 (t=3) определите необходимую численность механической выборки при условии, что предельная ошибка выборки по продолжительности горения лампочек не превышала бы 50 часов при  = 200 часов и N=100 000 штук.

Задача 6.7. На лесном массиве в 400 га предполагается определить общий запас древесины. Пробные площади для организации выборки определены по 0,1 га. На основе предыдущих обследований известно, что среднее кавдратическое отклонение выхода древесины с 0,1 га равно 5 м³. Сколько пробных площадей необходимо обследовать, чтобы предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 (t=2) не превышала бы 0,1 м³. Отбор бесповторный.

Задача 6 8. С целью изучения производительности труда обследовано 19 % рабочих завода. По схеме собственно-случайного отбора в выборку попало 400 человек. Затраты времени в среднем на обработку одной детали этими рабочими составили 20 мин. при среднем квадратическом отклонении 6 мин. С вероятностью 0,954 (t=2) вычислите предельную ошибку выборки для среднего уровня затрат времени на одну деталь и границы генеральной средней.

Задача 6.9. В порядке бесповторной типической выборки в колхозах района обследовано 625 га посевов озимой пшеницы и столько же посевов ржи. В результате обследования установлено, что процент гибели озимой пшеницы-10, а ржи —20. Обследованная площадь составляет 19 % всей площади, засеянной этими видам зерновых культур. Определите предельную ошибку типической выборки с вероятностью 0,954 (t=2).

Задача 6.10. С уменьшением доли выборки с 36 % до 19 % при условии неизменности дисперсий и объемов выборки на сколько процентов увеличится средняя ошибка выборки.

Задача 6.11. По данным выборочного обследования средний стаж работы 100 слесарей составил 10 лет при коэффициенте вариации 30 %. С вероятностью 0,954 (t=2) определите предельную ошибку выборки и границы (пределы) среднего стажа слесарей по всей (генеральной) совокупности.

Задача 6.12. Во сколько раз необходимо увеличить численность выборки, с тем чтобы средняя ошибка выборки уменьшилась бы вдвое? Покажите доказательность Вашего вывода на основе преобразования формулы средней ошибки выборки для случая повторного отбора.

Задача 6.13. Из общего числа 2000 рабочих завода подвергнуто пропорциональному типическому отбору по трем цехам 200 человек, которые по размеру месячной заработной платы были распределены следующим образом:

№ цеха п/п	Группы рабочих по уровню месячной заработной платы, тыс. ден. единиц								Итого
	до 2,8	2,8-3,2	3,2-3,6	3,6-4,0	4,0-4,4	4,4-4,8	4,8-5,2	5,2 и выше
1	10	14	25	30	9	2	-	-	90
2	-	6	10	12	26	10	4	2	70
3	-	-	4	12	15	5	2	2	40
Итого	10	20	39	54	50	17	6	4	200

Определите: 1) средние значения заработной платы и дисперсий по каждому цеху и по заводу в целом№; 2) среднюю из внутригрупповых дисперсий; 3) с вероятностью 0,997 (t=3) возможные границы средней заработной платы рабочих по заводу в целом как при собственно-случайном, так и типическом способах отбора; 4) с вероятностью 0,954 (t=2) возможные границы доли рабочих по заводу в целом с размером месячной заработной платы 4,0 тыс. ден. ед. и более как при собственно-случайном, так и при типическом способах отбора; 5) относительные ошибки выборки средней и доли; 6) дайте сравнительную характеристику ошибок выборки собственно-случайного и типического способов отбора; 7) необходимую численность выборки при определении средней заработной платы рабочих при собственно-случайном и типическом способах отбора, с тем чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка не превышала бы 0,2 тыс. ден. ед.; 8) необходимую численность выборки при определении доли рабочих с уровнем месячной заработной платы 4,0 тыс. ден. ед. и более при собственно-случайном и типическом способах отбора с тем, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала бы 6 %; 9) возможные границы фонда заработной платы рабочих завода в целом и возможные границы численности рабочих с уровнем месячной заработной платы 4,0 тыс. ден. ед. как при собственно-случайном, так и при типическом способах отбора.

Задача 6.14. В результате 5 %-ной выборки отобрано 50 токарей и 50 слесарей завода (выборка типическая). Средняя заработная плата токарей по

выборке составила 7,0тыс. ден. ед., а слесарей -5,0 тыс. ден. ед. Общая дисперсия уровня месячной заработной платы токарей и слесарей по выборке составила 2,69. С вероятностью 0,997 (t=3) определите: 1) размер предельной ошибки выборки и возможные границы средней заработной платы токарей и слесарей по заводу в целом (генеральная совокупность); 2) возможные границы фонда заработной платы, если известно, что численность всех токарей и слесарей по всему заводу составила 2000 чел.

Задача 6.15. На крупном машиностроительном заводе рабочие объединены в 100 бригад. Методом бесповторной выборки отобрали 25 бригад (серий). По данным выборки средний стаж -11 лет, межсерийная дисперсия -9. С вероятностью 0,954 (t=2) определите предельную ошибку выборки и возможные границы длительности производственного стажа рабочих по заводу в целом.

Задача 6.16. Посевная площадь озимой пшеницы, составляющая 4000 га, размещена на 40 стогектарных участках. С целью определения урожайности на всем массиве посевов озимой пшеницы в порядке случайной бесповторной выборки отобрали 8 стогектарных участков, на которых произвели обследование видов на урожай. В результате были получены следующие данные:

Показатель	№ п/п отобранных участков
	1	2	3	4	5	6	7	8
Урожайность озимой пшеницы, ц/га	24	28	26	30	32	38	36	26

Определите: 1) возможные границы средней урожайности озимой пшеницы с вероятностью 0,954 (t=2), 2) необходимую численность выборки (число стогектарных участков) при определении средней урожайности озимой пшеницы с тем, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 2 ц/га; 3) возможные границы валового сбора озимой пшеницы со всей площади посевов.

Задача6.17. На электроламповом заводе укомплектовано 5000 ящиков по 1000 лампочек в каждом. В порядке случайной бесповторной выборки на первом этапе было отобрано 200 ящиков, а на втором этапе из каждого ящика извлекли по 20 лампочек. В результате экспериментальной проверки установлено, что средняя продолжительность горения отобранных лампочек составила 900 часов, средняя дисперсия из серийных дисперсий , а межсерийная дисперсия

С вероятностью 0,954 (t=2) определите возможные границы средней продолжительности горения лампочек во всей партии изготовленных электроламп.

Задача 6.18. При сплошной переписи скота в личном пользовании населения района было зарегистрировано: крупного рогатого скота- 12000 голов, в том числе коров - 5500 голов, овец -40 000 голов. При повторном контрольном обходе обследованию подверглись 10 % дворов. При сплошной переписи у них было учтено крупного рогатого скота 1240 голов, в том числе коров - 500 голов, а овец - 4200 голов. При повторных контрольных обходах в этих дворах оказалось: крупного рогатого скота - 1271 голова, в том числе коров - 508 голов, а овец -4018 голов.

На основе приведенных данных определите: 1) коэффициенты поправок по видам скота; 2) скорректируйте численность поголовья скота у населения района по его видам с учетом нанесения поправочных коэффициентов.

Задача 6.19. По данным двух партий бытовых электроламп, поступивших в торговую сеть, методом случайного отбора обследовано по 100 штук в каждой. Установлено, что в первой партии было обнаружено 10 нестандартных лампочек, во второй партии - 14. Определите, являются ли расхождения в процентах брака электролампочек в обследованных партиях существенными (значимыми) или таковыми не являются? Оценку расхождений дайте с уровнем значимости  = 0,05.

Задача 6.20. По данным анализа двух партий проб руды (в каждой партии по 100 проб), отобранных в случайном порядке, установлено, что в первой партии среднее содержание окиси железа составляет 60 % при среднеквадратическом отклонении 10, а во второй партии -66 % при среднеквадратическом отклонении 12. С уровнем значимости  = 0,05 определите, являются ли расхождения в средних процентах содержания окиси железа в двух подвергнутых выборке партиях существенными или несущественными?

Задача 6.21. Из одного и того же эшелона угля, доставленного на теплостанцию, были произведены две независимые выборки. По проценту содержания золы эти партии образцов угля распределились следующим образом:

Первая партия образцов угля		Вторая партия образцов угля
Распределение образцов угля по проценту зольности	Число образцов	Распределение образцов угля по проценту зольности	Число образцов
до 10	10	до 10	10
10-12	20	10-12	20
12- 14	40	12 - 14	50
14- 16	10	14- 16	10
16-18	10	16-18	5
18 и более	10	18 и более	5
Итого	100	Итого	100

С уровнем значимости  = 0,005 установите: 1) являются ли существенными расхождения в средних значениях процентов зольности образцов угля в двух сравниваемых партиях? 2) являются ли существенными расхождения между долями в обоих партиях образцов угля с уровнем зольности 16% и выше?

Задача 6.22. Имеются следующие данные об уровнях урожайности озимой пшеницы, полученных по результатам опытных исследований:

Участки с обычной технологией обработки почвы		Участки с применением рациональных технологий обработки почвы
№ п/п	Урожайность озимой пшеницы, ц/га	№ п/п	Урожайность озимой пшеницы, ц/га
1	24	1	27
2	28	2	30
3	26	3	42
4	29	4	29
5	25	5	28
6	30	6	36
7	23	7	38
8	23	8	34

Для случая малых выборок с уровнем значимости = 0,005 определите, являются ли существенными расхождения средних уровней урожайности озимой пшеницы по различным испытаниям проводимых опытов?

Задача 6.23. Две бригады рабочих, одна из которых работает по новой технологии, изготавливают однотипную продукцию. С целью выявления зависимости производительности труда рабочих от внедрения новой технологии определены на основании типической выборки общая дисперсия ² = 280 и эмпирическое корреляционное отношение =0,9. На основании этих данных рассчитайте внутригрупповую и межгрупповую дисперсии.

Задача 6.24.В 10%-ной бесповторной выборке число студентов занимающихся в среднем на 8,8 балла, среди обследованных 900 студентов составило 180 чел.

Определить с вероятностью 0,954 (t=2) границы доли студентов.

Задача 6.25. Какую численность населения нужно обследовать при повторном отборе, чтобы определить долю пенсионеров с точностью до 2% при вероятности 0,954?

Задача 6.26. Если доля выборки в генеральной совокупности составляет 19%, то на сколько процентов уменьшится ошибка выборки при бесповторном отборе по сравнению с повторном?

Задача 6.27. По данным выборочного обследования средний стаж работы 100 слесарей составил 12 лет при коэффициенте вариации 25%. С вероятностью 0,954 (t=2) определите предельную ошибку выборки (отбор повторный.)

Задача 6.28. В городе с численностью населения 60 тыс. человек проведено 5%-ное выборочное бесповторное обследование жителей с целью изучения жилищных условий. В результате выявлено, что в среднем на одного жителя приходится 12,5 кв. м. жилплощади при =3,0 кв. м.

Определить с вероятностью 0,954 (t=2) границы среднего размера жилплощади на 1 жителя в целом по городу.

Задача 6.29. Определить численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки при определении границ средней выработки ткачих на превышала 3 м. При этом известно, что генеральная совокупность составила 1000 ткачих, а выборочная дисперсия 150 . Отбор бесповторный.

Задача 6.30. По данным обследования домашних хозяйств городское потребление мяса, в среднем на 1 человека, составило 63 кг при средней ошибке выборки 2 кг. С какой вероятностью можно утверждать, что средний уровень потребления мяса на меньше 57 кг и не больше 69 кг.

Задача 6.31. Какова должна быть численность выборки при определении среднего тарифного разряда одного рабочего завода, чтобы с вероятностью 0,954 (t=2) предельная ошибка выборки не превышала 0,4. Ориентировочная дисперсия тарифного разряда равна 1,44 (отбор повторный).

Задача 6.32. Какова должна быть численность выборочной совокупности, с тем чтобы с вероятностью р=0,997 (t=3) предельная ошибка выборки при определении средней продолжительности горения лампочек не превышала бы 50 часов. Среднее квадратическое отклонение равно 200 часов, а численность генеральной совокупности равна 10000 лампочек (отбор бесповторный).

Задача 6.33. Какая должна быть численность механической выборки при обследовании 2000 единиц готовой продукции, чтобы ошибка выборки доли продукции, не удовлетворяющих требованиям стандарта, чс вероятностью 0,954 (t=2) не превышала 2%. По данным предыдущих обследований 8% такой продукции не удовлетворяла этим требованиям.

Задача 6.34. По данным и решению задач 4.34 и 5.20 определите:

1. с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается средний процент влажности всей готовой продукции;

2. с вероятностью 0,997 возможные пределы удельного веса стандартной продукции во всей готовой продукции при условии, что к нестандартной продукции относятся изделия с влажностью до 13-ти и свыше 19-ти %.

Задача 6.35. По данным и решению задач 4.35 и 5.21 определите:

1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих всего завода;

2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса рабочих со стажем работы от 10 лет и выше в общей численности рабочих.

Задача 6.36. По данным и решению задач 4.36 и 5.22 определите:

1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средняя масса изделия во всей партии изготовленных изделий;

2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса стандартных изделий с массой веса от 40 до 46 граммов в общем объеме готовой продукции.

Задача 6.37. По данным и решению задач 4.37 и 5.23 определите:

1) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается среднедневная выработка изделий всеми рабочими завода;

2) с вероятностью 0,683 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса рабочих с дневной выработкой свыше 42 изделий среди всех рабочих завода.

Задача 6.38. По данным и решению задач 4.38 и 5.24 определите:

1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;

2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа деталей с затратами времени на их изготовление от 20 до 26 мин в общем количестве деталей, изготовленных на заводе.

Задача 6.39. По данным и решению задач 4.39 и 5.25 определите:

1) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средняя урожайность озимой пшеницы во всей области;

2) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса посевных площадей во всей области с урожайностью от 28 ц с одного га и выше.

Задача 6.40. По данным и решению задач 4.40 и 5.26 определите:

1) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний процент выполнения норм выработки среди всех рабочих-сдельщиков завода;

2) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса рабочих – сдельщиков всего завода, выполняющих нормы выработки на 130 % и выше.

Задача 6.41. По данным и решению задач 4.41 5.27 определите:

1) с вероятностью 0,683 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается уровень рентабельности во всей отрасли;

2) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса предприятий с уровнем рентабельности 30% и выше во всей отрасли.