Глава 4 Средние величины
4.1. Методические указания и решения типовых задач
Средняя величина есть обобщенная количественная характеристика единиц совокупности по вариации определенного признака. Она рассчитывается на единицу этой совокупности. В статистике используются различные виды средних величин: агрегатная, арифметическая, гармоническая, геометрическая, средний квадрат и др. Выбор средней зависит как от поставленной задачи, которую правильно может разрешить только определенная средняя, так и от характера и содержания исходного материала, имеющегося в конкретном случае. При расчете средних величин необходимо исходить из экономического содержания статистических показателей.
В основе такого подхода лежит исходное соотношение средней, а именно:
Средний уровень признака = |
Итог значений признака по совокупности явлений |
Число единиц совокупности |
Так, например, средняя урожайность представляет собой соотношение сбора урожая со всей площади (валовой сбор) и размера посевной площади (выраженной в гектарах). Уточняя исходное соотношение средней, можно сформулировать и более общее положение расчета средних величин (показателей): средние величины (показатели) рассчитываются таким же способом, как и индивидуальные показатели, только на основе данных по совокупности в целом. Если, например, уровень (процент) брака по отдельным предприятиям вычисляется делением объема бракованной продукции на объем всей продукции (результат деления умножается на 100), то по совокупности предприятий необходимо просуммировать объемы бракованной и всей продукции, а затем первое число разделить на второе, выражая полученный результат в процентах.
Уяснив экономическую природу средней величины, необходимо, чтобы все процедуры (операции) ее вычисления имели реальный смысл с точки зрения исходного соотношения средней.
Основанием для расчета средних величин является определяющее свойство средней, заключающееся в том, что сумма (произведение) индивидуальных значений признака равно сумме (произведению) средних значений признака по объему изучаемой совокупности. Это свойство свидетельствует о том, что средняя величина является уравнительным значением признака для всех единиц совокупности.
Реализуя исходное выражение расчета средней, используются различные формулы расчета средних величин.
Средняя арифметическая.Применяются формулы средней арифметической простой и взвешенной.
Если исходные данные осредняемого признака представлены в несгруппированном виде (как индивидуальные значения первичного признака у отдельных единиц совокупности), то в этом случае средняя рассчитывается по формуле средней арифметической простой:
, (4.1)
где – среднее значение признака; х – индивидуальные значения признака у каждой единицы совокупности;– знак суммирования;n– число единиц совокупности.
Если исходные данные представлены в сгруппированном виде, т.е. в виде рядов распределения (дискретных или интервальных), то средняя величина в таких случаях рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:
, (4.2)
где х – варианты значений осредняемого признака; f– частоты (веса) для каждого из вариантов признака, показывающие их повторяемость.
Частоты ряда распределения можно заменить их удельными весами, т.е. частостями ()
(4.3)
(4.4)
В таких случаях формула расчета средней примет вид:
, (4.5) или, (4.6) если удельные весавыражены в признаках.
Средняя гармоническая. Если известны варианты значений осредняемого признака (х) и их суммарные (итоговые) результаты (M=xf), то в этом случае средняя рассчитывается по формуле средней гармонической взвешенной:
. (4.7)
Если вместо абсолютных значений (М), вычислить их удельные веса, т.е.
; (4.8)
, (4.9)
то формула расчета средней примет вид:
, (4.10)
или , (4.11)
если удельные веса (dM) выражены в процентах
При M–constсредняя гармоническая взвешенная преобразуется в среднюю гармоническую простую:
(4.12)
Задача 1.Имеются следующие условные данные об урожайности картофеля.
Таблица 4.1
Хозяйства Номер п/п/ |
Базисный период |
Отчетный период | ||||
Урожайность картофеля, ц/га (х) |
Посевная площадь, га (f) |
Доля посевной площади (df) |
Урожайность картофеля, ц/га (х) |
Валовой сбор картофеля, ц (М) |
Посевная площадь картофеля, ц | |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
180 |
300 |
0,30 |
190 |
57000 |
300 |
2 |
200 |
200 |
0,20 |
210 |
42000 |
200 |
3 |
250 |
500 |
0,50 |
260 |
130000 |
500 |
Итого |
|
1000 |
1,0 |
|
229000 |
1000 |
Определим среднюю урожайность картофеля в базисном периоде, используя формулу средней арифметической взвешенной:
ц/га.
Такой же результат получим на основе данных доли посевов в общем их итоге (df):
ц/га.
Вычислим среднюю урожайность картофеля в отчетном периоде, применив формулу средней гармонической взвешенной:
ц/га.
Во всех случаях, когда известны значения числителя и знаменателя исходного соотношения средней, средняя вычисляется по формуле средней агрегатной:
. (4.13)
Применительно к отчетному периоду будем иметь среднюю урожайность картофеля:
ц/га.
Средний квадрат. При решении ряда задач возникает необходимость вычисления среднего квадрата вариантов признака. Для этого случая используется формула:.
Задача 2. Имеются следующие условные данные штабелях бревен.
Таблица4.2.
№№ штабеля |
1 |
2 |
3 |
4 |
Радиус бревен в штабеле, см (r) |
10 |
12 |
15 |
20 |
Количество бревен, шт. (f) |
200 |
100 |
600 |
100 |
Известно, что Среднюю площадь сечения бревна можно определить из выражения:
Для расчета среднего квадрата радиуса бревна используем формулу:
.
Величина средней площади сечения бревна составит: = =657,516 см2.
Расчет средних величин на основе взаимосвязи признаков.Например, затраты на производство валового сбора зерновых (3) можно представить произведением трех признаков: себестоимости 1 ц. зерна (z), урожайности зерновых (х) и размера посевной площади (f). Взаимосвязь указанных признаков посредством символов будет выражена:
З = zxf. (4.15)
Уровень средней урожайности зерновых культур определим на основе взаимосвязи признаков по следующей формуле:
.
Средний уровень себестоимости 1 ц. зерновых культур будет вычислен по формуле:
. (4.16)
В каждом конкретном случае формула расчета среднего значения признака определяется экономическим содержанием взаимосвязи признаков и исходным соотношением расчета средней величины.
Вычисление средней арифметической по вариационным интервальным рядам.В подобных рядах необходимо предварительно по каждой группе от интервальных значений признака перейти к их дискретным выражениям путем определения полусумм нижней и верхней границ интервалов ряда распределения.
Средние затраты времени на одну деталь вычислим обычным (прямым) способом по формуле средней арифметической взвешенной (значения числителя и знаменателя формулы средней возьмем из табл. 4.3.):
мин.
Задача 3. Имеются следующие данные о распределение деталей по затратам времени на их изготовление.
Таблица 5.3.
Затраты времени на производство деталей, мин.
|
Количество деталей, шт. (f) |
Середина интервала (х) |
xf |
x-A |
Накопленные частоты | ||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
до 10 |
10 |
9 |
90 |
-4 |
-2 |
-20 |
10 |
10-12 |
10 |
11 |
110 |
-2 |
-1 |
-10 |
20 |
12-14 |
50 |
13 |
650 |
0 |
0 |
0 |
70 |
14-16 |
20 |
15 |
300 |
2 |
1 |
20 |
90 |
16 и выше |
10 |
17 |
170 |
4 |
2 |
20 |
100 |
Итого |
1000 |
|
1320 |
|
|
10 |
|
В рядах распределения с равными интервалами значение средней вычислим по преобразованной формуле («способ условного момента»).
Вычислим среднюю арифметическую из значений – первый условный момент (m1), где; к – кратный делитель, равный величине интервала для рядов распределения с нечетным числом интервалов и– для рядов распределения с четным числом интервалов (i– величина равного интервала).
Первый условный момент исчисляется по формуле:
;
а среднее значение признака
мин.
Структурные средние.К их числу относятся мода, медиана и соответствующие квартильные характеристики.Мода(М0) – величина признака (варианта), которая встречается в ряду распределения с наибольшей частотой (весом). В дискретных рядах распределения значение моды определяется визуально, то есть по наибольшей частоте. Если же варианты ряда распределения заданы в виде интервалов, равных по величине, то сначала находится модальный интервал, т.е. интервал, обладающий наибольшей частотой, а затем – приближенное значение модальной величины признака по формуле:
, (4.17)
где xmo– нижняя граница модального интервала;imo– величина модального интервала;fmo-1– частота интервала, предшествующего модальному;fmo– частота модального интервала;fmo+1– частота интервала, следующего за модальным.
Вычислим значение модальной величины признака на основе данных табл. 4.3.:
мин.
Медиана (Ме) – величина признака у единицы совокупности, находящейся в середине ранжированного (упорядоченного) ряда. Если ряд распределения представлен конкретными индивидуальными значениями признака в ранжированном порядке, то значение медианы находится как серединное значение признака (например, число значений нечетное – 55, то Месоответствует 28-му в ряду значений признака; если же число значений четное – 56, то Месоответствует полусумме 28 и 29 значений признака). Если варианты в ряду распределения представлены в виде равных интервалов, то первоначально находят медианный интервал, который содержит единицу, находящуюся в середине ранжированного ряда. Для определения этого интервала сумму частотделят пополам и на основе последовательного накопления (суммирования) частот интервалов, начиная с первого, находят интервал, где расположена медианная единица. Приближенное значение медианы в медианном интервале исчисляют по формуле:
(4.18)
где хme– нижняя граница медианного интервала;ime– величина медианного интервала;– сумма частот ряда;Sme-1– накопленный итог численностей до медианного интервала;fme– численность медианного интервала.
Вычислим значение медианной величины признака на основе данных табл. 4.3.:
мин.
Следовательно, 50% изделий произведены с затратами времени 13,2 мин и меньше на одну деталь, а 50% – больше, чем 13,2 мин.
Квартили– это значения признака в ранжированном ряду, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше величиныQ1; 25% единиц будут заключены между Q1и Q2; 25% – междуQ2иQ3; остальные 25% превосходят Q3. Квартили определяется по формулам, аналогичным формуле для расчета медианы. Так значение первой квартили (Q1) определяется по формуле:
(4.19)
где – нижняя граница интервала, в котором находится первая квартиль;– накопленные итоги численностей интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится первая квартиль;– величина первого квартильного интервала;– частота интервала, в котором находится первая квартиль.
Вычислим значение первой квартили по данным табл. 4.3.:
мин.
Таким образом 25% изделий произведены с затратами времени 12,2 мин. и меньше на одну деталь, а 75% – больше чем 12,2 мин.
Вторая квартиль равна значению медианы, т.е.
Q2=Me. (4.20)
Значение третьей квартили определяется по формуле:
(4.21)
(условные обозначения те же, что и для величины Q1, только применительно к расчету третьей квартили). Определим значение третьей квартили на основе данных табл. 4.3.:
мин.
Применительно к данному примеру следует, что 75% изделий произведены с затратами времени 14,6 мин. и меньше на одну деталь, а 25% – больше, чем 14,6 мин.