8.29. Кривая распределения случайной величины Х представляет собой полуэллипс с полуосями а и b. Полуось а известна. Определить b. Найти M (X ), D(X ) и функцию распределения F(x) .
Ответ: |
b = |
2 |
;M (X ) = 0; |
D(X ) = |
a2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
πa |
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
при x ≤ −a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|||
F(x)= |
|
x |
a2 − x2 |
+ a2 arcsin |
|
+ |
a π |
|
при |
− a < x ≤ a, |
|||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
πa |
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 при x > a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8.30. Случайная величина Х задана плотностью распределения
0 при x ≤ −2,
( ) 1
p x = − x3 при - 2 < x ≤ 0,
4
0 при x > 0.
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс.
Ответ: A =1,5 ; E =5,46.
Равномерный закон распределения
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a,b], если ее плотность вероятности р(х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.
|
1 |
при a |
≤ x ≤b, |
|
p(x)= |
|
|||
b − a |
||||
|
при x < a, |
x >b. |
||
0 |
||||
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть
96
|
0 при x ≤ a, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F(x)= |
x − a |
приa < x ≤b, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
b − a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 при x >b. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Математическое ожидание |
M (X )= a + b , |
дисперсия |
D(X )= |
(b − a )2 |
, |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|||||
а среднее квадратическое отклонение у(X )= |
|
|
b − a |
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 8.14. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 3 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше минуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х — времени ожидания поезда.
Решение. Случайная величина Х — время ожидания поезда на временном
(в минутах) отрезке [0, 3] имеет равномерный закон распределения p(x)= 13 .
Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более минуты,
равна |
1 |
от равной единице площади прямоугольника (рис. 8.11), т.е. |
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
P(X ≤1)= ∫ |
|
|
dx = |
|
|
x |
0 |
= |
|
. |
|
|
||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
M (X )= |
0 + 3 |
|
=1,5 мин, D(X )= |
|
(3 − 0)2 |
= 3 |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
4 |
|
||
|
|
у(X )= |
D(X )= |
|
3 |
≈ 0,86 мин. |
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
р(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 р(х) =1/3 1/3
1 |
|
|
3 |
х |
2 |
||||
Рис. 8.11
97
Пример 8.15. Найти математическое ожидание и дисперсию произведения двух независимых случайных величин ξ и η с равномерными законами распределения: ξ в интервале [0;1], η — в интервале [1; 3].
Решение. Так как математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то
M (оз)= M (о)M (з)= |
0 +1 |
|
1 + 3 |
=1. |
Для нахождения дисперсии воспользуемся |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(оз)= M [(оз)2]−[M (оз)]2 = M (о2з2)−[M (оз)]2 = M (о2) M (з2)−[M (о) M (з)]2. |
||||||||||||||
M (о2)найдем по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
M (о2)= 1∫о2 p(о)dо=1∫о2dо |
=1 |
о3 |
|
1 |
= |
1 . |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
3 |
|
|
0 |
|
|
|
3 |
||
Аналогично рассчитаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M (з2)= ∫3 з2 p(з)dз =1 |
∫3 з2dз = 1 |
1 з |
3 |
|
3 |
=13 . |
||||||||
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
Следовательно,
D(оз)= 13 133 −1 = 94 .
Пример 8.16. Вычислить математическое ожидание и дисперсию определителя
Д = |
о11 |
о12 |
, |
2 |
о |
о |
|
|
21 |
22 |
|
элементы которого оij — независимые |
случайные величины с M (оij )= 0 и |
||
D(о )= у2. |
|
|
|
ij |
|
|
|
Решение. Вычислим математическое ожидание
M (Д2)= M (о11о22 − о12о21)= M (о11о22)− M (о12о21)= M (о11)M (о22)− M (о12)M (о21)= 0.
Для нахождения дисперсииD(Д2) докажем, что если ξ и η — независимые случайные величины, то D(оз)= D(о)D(з)+ [M (о)]2 D(з)+ [M (з)]2 D(о).
Действительно,
98
D(оз)= M (оз)2 −[M (оз)]2 = M (о2)M (з2)−[M (о)]2[M (з)]2 =
=(D(о)+ [M (о)]2)(D(з)+ [M (з)]2)−[M (о)]2[M (з)]2 =
=D(о)D(з)+ [M (о)]2 D(з)+[M (з)]2 D(о).
Следовательно,
D(Д2)= D(о11о22 − о12о21)= D(о11о22)+ D(о12о21)=
=D(о11)D(о22)+ [M (о11)]2 D(о22)+[M (о22)]2 D(о11)+ + D(о12)D(о21)+ [M (о12)]2 D(о21)+ [M (о21)]2 D(о12)=
=у2у2 + 0 у2 + 0 у2 + у2у2 + 0 у2 + 0 у2 = 2у4.
Замечание. Для определителя n-го порядка M (Дn)= 0 ; D(Дn)= n!у2n.
Пример 8.17. Автоматический светофор работает в двух режимах: 1 мин. горит зеленый свет и 0,5 мин — красный и т.д. Водитель подъезжает к перекрестку в случайный момент времени. 1. Найти вероятность того, что он проедет перекресток без остановки. 2. Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики времени ожидания у перекрестка.
Решение. 1. Момент проезда автомобиля t через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периоду смены цветов светофора. Этот период равен 1 + 0,5 = 1,5 мин. Для того чтобы машина проехала через перекресток не останавливаясь, достаточно того, чтобы момент проезда пришелся на интервал времени (0;1). Тогда
|
|
P(t (0;1))= 1∫ p(τ)dτ =1∫ |
2 dτ =2 . |
||
|
|
0 |
0 |
3 |
3 |
2. Время ожидания t0 является смешанной случайной величиной: с вероят- |
|||||
ностью |
2 |
она равна нулю, а с вероятностью |
1 принимает с равномерной плотно- |
||
|
3 |
|
3 |
|
|
стью вероятностей любые значения между 0 и 0,5 мин; тогда график функции распределения случайной величины t0 имеет вид, изображенный на рис. 8.12:
99