Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам: µ2 = ν2 − ν12, µ3 = ν3 −3ν1ν2 + 2ν13,

µ4 = ν4 − 4ν1ν3 + 6ν12ν2 −3ν14 .

Математическое ожидание М (Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент или дисперсия D(X )−степень рассеяния распределения Х относительно М (Х).

σ3

асимметрии случайной величины.

А = 0, если распределение симметрично относительно математического ожидания.

Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения.

Эксцессом случайной величины называется число

E= µ4 −3.

σ4

Кривые, более островершинные, чем кривая для нормального распределения, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности р(х) постоянна на этом отрезке и равна нулю

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть

Пример Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 3 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше минуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – времени ожидания поезда.

Решение. Случайная величина Х – время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0, 3] имеет

равномерный закон распределения p(x)= 13. Поэтому

вероятность того, что пассажиру придется ждать не более минуты, равна 13 от равной единице площади

прямоугольника (см. рис. ), т.е.

р(х)

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

0 при x < 0.

Кривая плотности р(х) и функции распределения F(x) :

Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и

σ 2 , если ее плотность вероятности имеет вид: p(x)= σ 12π e−(x2−σa2)2 .

© БГЭУ Лекция №4 Случайные величины проф. Дымков М. П. 14

Кривую нормального закона распределения называют

нормальной или гауссовой кривой.

На рис. приведены нормальная кривая р(х) с

параметрами а и σ 2 , т.е. N (a;σ 2 ) и график функции распределения случайной величины Х, имеющей нормальный закон:

Нормальная кривая симметрична относительно прямой

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, M (X )= a, D(X )=σ 2.

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал [α, β]определяется формулой

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину

ε > 0 (по абсолютной величине), равна

P((x − a )≤ ε)= Φ ε .σ

«Правило трех сигм»: Если случайная величина Х имеет

нормальный закон распределения с параметрами а и σ 2 , т.е. N (a;σ 2 ), то практически достоверно, что ее значения

заключены в интервале (a −3σ; a + 3σ ):

P((x −a )≤3σ )=Φ(3)= 0,9973.

© БГЭУ Лекция №4 Случайные величины проф. Дымков М. П. 16

Пример. Определить закон распределения случайной

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х .

Решение. Сравнивая данную функцию р(х) с функцией плотности вероятности для случайной величины, распределенной по нормальному закону, заключаем, что случайная величина Х распределена по нормальному

Пример. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед.

Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.;

в) от 14,9 до 15,3 ден. ед.

г) с помощью правила «трех сигм» найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции. Решение. Так как а = 15 и σ = 0,2, то

= 12 + 12 0,8664 = 0,9332.

12 − 12 Φ(2)= 12 − 12 0,9545 = 0,0228.

Пример. Автомат изготавливает детали, которые считаются годными, если отклонение Х от контрольного размера по модулю не превышает 0,8 мм. Каково наиболее вероятное число годных деталей из 150, если случайная величина Х распределена нормально с

σ = 0,4мм?

Решение. Найдем вероятность отклонения при σ = 0,4 и

ε= 0,8: P(X −a ≤ 0,8)=Φ 0,8 =Φ(2)= 0,9545.

0,4

© БГЭУ Лекция №4 Случайные величины проф. Дымков М. П. 18

Считая приближенно р = 0,95 и q = 0,05, в соответствии с

Пример Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение – 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180

Решение. Найдем вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу (170;180):

Тогда вероятность того, что рост мужчины не будет принадлежать интервалу (170; 180) q = 1 – 0,6 = 0,4.

Вероятность того, что хотя бы один из 5 мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см равна:

P =1 − q5 =1 − 0,45 = 0,9898