Дымков Лекции

© БГЭУ Лекция №2 Основы теории вероятностей проф. Дымков М. П. 9

Пример. Вероятность того, что потребитель увидит

рекламу продукта по телевидению, равна 0,06. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,08. Предполагая, что оба события – независимы, определить вероятность того, что потребитель увидит: а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу?

Решение. Пусть А – «Потребитель увидит рекламу по

телевидению»; В – «Потребитель увидит рекламу на стенде»; С – «Потребитель увидит хотя бы одну рекламу». По условию Р (А) = 0,06; Р (В) = 0,08. События А и В совместные и независимые.

а) Потребитель увидит две рекламы. В наших обозначениях это событие A B,

P(A B)= P(A) P(B) = 0,06 0,08 = 0,0048.

б) Событие С есть сумма событий А и В. Так как эти события совместны, то

Р (С) =Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ).

Р (С) = 0,06 + 0,08 – 0, 0048 = 0, 1352.

Эту же вероятность можно найти, используя свойство вероятностей противоположных событий

P(C)= P(A + B)=1 − P(A B)=1 − P(A) P(B);

P(A)=1 − P(A)=1 − 0,06 = 0,94; P(B)=1 − 0,08 = 0,92;

P(C)=1 − 0,94 0,92 =1 − 0,8648 = 0,1352.

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя

бы одного из этих событий P(A)=1 − (1 − p)n .

Пример. Вероятность хотя бы одного правильного ответа при опросе преподавателем четырех студентов равна 0,9984. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент правильно ответит на заданный вопрос.

Решение. Вероятность хотя бы одного правильного ответа при опросе четырех студентов определяется по формуле:

P =1 −(1 − p)4 ,

где р – вероятность правильного ответа для одного наудачу выбранного студента. По условию Р = 0,9984.

Решаем уравнение

1−(1− p)4 = 0,9984 (1− p)4 =1−0,9984

(1− p)4 = 0,0016 (1− p)2 = 0,04 1− p = 0,2 p = 0,8.

Определение. Набор событий H1, H2 ,K, Hnназывается

полной группой событий, если они попарно несовместны и их сумма составляет достоверное

и событие А может произойти с одним и только с одним из этих событий. Тогда вероятность события А равна

n

P(A)= ∑P(Hi ) P(A/ Hi ).

i=1

© БГЭУ Лекция №2 Основы теории вероятностей проф. Дымков М. П. 11

Пример. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта?

Условные вероятности по заключению контракта для фирмы P(A/ H1 )= 0,25, P(A/ H2 )= 0,45. По формуле

P(A)= P(H1 ) P(A/ H1 )+ P(H2 ) P(A/ H2 ).

P(A)= 0,4 0,25 + 0,6 0,45 = 0,1 + 0,27 = 0,37

Формула Байеса. Если событие А произошло, то

формуле полной вероятности.

© БГЭУ Лекция №2 Основы теории вероятностей проф. Дымков М. П. 12

Пример. Экономист-аналитик условно подразделяет

экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация посредственная, и с вероятностью 0,10, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

Решение. А = «индекс экономического состояния страны

возрастет», Н1 = «экономическая ситуация в стране «хорошая»», Н2 = «экономическая ситуация в стране

формуле Байеса:

= 00,,31509 ≈ 0,286.

Ряд задач ТВ связан с экспериментом, в котором проводятся последовательные независимые испытания Последовательные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в n-м по счету испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытаний.

Простейшим классом повторных независимых испытаний является последовательность независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех») и с

неизменными вероятностями «успеха» (р) и «неуспеха» (1− p = q) в каждом испытании (схема

испытаний Бернулли).

Вероятность получить ровно m успехов в n

независимых испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: Pm,n = Cnm pm (1− p)n−m .

Пример. Изделия производства содержат 5 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного испорченного; б) будут два испорченных.

Решение. а) По условию задачи n = 5, p = 0,05. Так как вероятность наступления события А (появление бракованной детали) постоянна для каждого испытания,

то задача подходит под схему Бернулли. По формуле

P5,0 = C50 0,050 0,955 =1 1 0,774 = 0,774.

б) n = 5, m = 2, p = 0,05: P5,2 = C52 0,052 0,953 = 0,021.

Определение. Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз.

Наивероятнейшее число m0 наступлений события А

в n испытаниях заключено в интервале np − q ≤ m0 ≤ np + p .

Если np −q −целое число, то наивероятнейших числа два np − q и

Пример. В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0,8. Чему равно наивероятнейшее число ламп, которые будут работать в течение года?

Пример. Вероятность попадания в кольцо при штрафном броске для баскетболиста равна 0,8. Сколько надо произвести ему бросков, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

Предельные теоремы для схемы Бернулли

Теорема (Пуассона). Предположим, что произведение np является постоянной величиной, когда n неограниченно возрастает. Обозначим λ = np . Тогда для

np =λ

В случае, когда n велико, а р мало ( p < 0,1; npq ≤ 9)

вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона

Pm,n ≈ λme−λ , где λ = np . m !

Пример. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Решение. Для определения вероятности P5;1000применим приближенную формулу Пуассона:

(Значение функции Пуассона найдено по таблице 3 для m = 5 и λ = 4).

Ответ: P5;1000 ≈ 0,1563.

© БГЭУ Лекция №3 Основы теории вероятностей проф. Дымков М. П. 6

Пример. Город ежедневно посещает 1000 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно быть для этого в его ресторане?

Решение. Пусть А = «турист пообедал у владельца».

наименьшее число k, что вероятность наступления не менее чем k «успехов» в последовательности из n =1000 независимых испытаний с вероятностью успеха р = 0,5 равна 1–0,99=0,01. Это как раз вероятность переполнения