© БГЭУ Лекция №3 Основы теории вероятностей проф. Дымков М. П. 7

Из интегральной теоремы Лапласа можно получить формулу

Пример. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

7

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее нельзя учесть.

Случайные величины (СВ) обозначают буквами Х, У, Z, а их возможные значения – х, у, z…..

Дискретная случайная величина

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным.

Как охарактеризовать СВ?

Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения – это соответствие между возможными значениями и их вероятностями:

группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице: p1 + p2 + p3 +Kpn =1.

Дискретная случайная величина может быть задана

функцией распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х

Если значения случайной величины – точки на числовой оси, то геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х попадает левее заданной точки х:

Х< x

0 х х

F (x) обладает свойствами:

1. Функция распределения случайной величины есть

2.Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3.На минус бесконечности функция распределения

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал [x1, x2 ) (включая x1) равна приращению ее

функции распределения на этом интервале, т.е.

P(x1 ≤ X < x2 )= F(x2 )− F(x1 ).

Числовые характеристики случайной величины

Математическое ожидание М (Х)

Пусть случайная величина Х может принимать только значения x1, x2 ,K, xn , вероятности которых

соответственно равны p1, p2 ,K, pn .

Тогда математическое ожидание М (Х) случайной величины Х определяется равенством

n

M (X )= x1 p1 + x2 p2 +K+ xn pn = ∑xi pi .

i=1

Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Свойства математического ожидания

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M (C)= C .

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (CX )=CM (X ).

3.Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно

алгебраической сумме их математических ожиданий:

M (X ±Y )= M (X )± M (Y ).

4.Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно

произведению их математических ожиданий:

M (XY )= M (X )M (Y ).

5.Математическое ожидание отклонения случайной

величины от ее математического ожидания равно нулю: M (X − M (X ))= 0 .

Дисперсия случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.

Дисперсией D(X ) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания: D(X )= M [X −M (X )]2 .

Дисперсия – это мера рассеяния случайной величины около ее математического ожидания.

Если Х – дискретная случайная величина, то дисперсию вычисляют по следующим формулам:

n

D(X )= ∑(xi − a)2 pi , (где а = М(Х));

i=1

или

D(X )= M (X 2 )−(M (X ))2 .

Свойства дисперсии случайной величины

1.Дисперсия постоянной величины есть нулю: D(C)= 0 .

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX )= C 2 D(X ).

3.Дисперсия суммы двух независимых случайных

величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X +Y )= D(X )+ D(Y ).

4.Дисперсия разности двух независимых случайных

величин равна сумме их дисперсий:

D(X −Y )= D(X )+ D(Y ).

© БГЭУ Лекция №4 Случайные величины проф. Дымков М. П. 5

Средним квадратическим отклонением σ случайной

величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии: σ = D(X ).

Биномиальный закон распределения

Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р, то число появлений события А – дискретная случайная величина Х,

принимающая значения 0,1,2,…,m, K, n с вероятностями

Pn (m)= Cnm pmqn−m , 0 < p <1, q =1 − p, m = 0, 1, K, n.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формулам: M (X )= np , D(X )= npq .

Распределение Пуассона

Дискретная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, K, m,....

(счетное множество значений) с вероятностями

P (X = m)= λme−λ ,

Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (х), выражающая для каждого х

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее

функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Примеры непрерывных случайных величин: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета снаряда и др.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого

значения непрерывной случайной величины равна нулю:

P(X = x1 )= 0.

Следствие. Если Х – непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал (x1, x2 ) не зависит от того, является этот

интервал открытым или закрытым, т.е.

P(x1 < X < x2 )= P(x1 ≤ X < x2 )= P(x1 < X ≤ x2 )= P(x1 ≤ X ≤ x2 )

Для непрерывной случайной величины

P(x1 < X < x2 )= F(x2 )− F(x1 ).

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.

Плотностью вероятности (плотностью распределения

или просто плотностью) р (х) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения: p(x)= F′(x).

Плотность вероятности р(х), как и функция распределения F(х), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.

Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которые принадлежат всей оси Ох,

определяется равенством D(X )= +∫∞[x −M (X )]2 p(x)dx,

−∞

или равносильным равенством

D(X )= +∫∞ x2 p(x)dx −[M (X )]2 .

−∞

Вчастности, если все возможные значения Х

принадлежат (a b;), то D(X )= b∫[x −M (X )]2 p(x)dx,

Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной

случайной величины определяется равенством:

σ(X )= D(X ).

Модой M0 (X ) непрерывной случайной величины Х

называется ее наиболее вероятное значение (для которого плотность вероятности р(х) достигает максимума).