ДЗ Задача №4 МВ Графічний метод

ЗМІСТ

2.Алгоритм розв’язання задачі лінійного програмування графічним методом ………………………………………………... 5

3.Особливості розв’язків задачі лінійного програмування графічним методом ………………………………….……………. 8

4.Опорні плани задачі лінійного програмування …………………. 10

4.1. Геометрична інтерпретація опорних планів …………… 10

5.Приклади застосування графічного методу ……………………... 11

6.Аналіз моделей на чутливість ……………………………………. 20

6.1.Перша задача аналізу на чутливість (аналіз на чутливість до правої частини обмежень) …………….……….. 22

6.2.Друга задача аналізу на чутливість …………………….. 27

6.3.Третя задача аналізу на чутливість …………………….. 28

6.3.1.Графічний аналіз допустимого діапазону зміни цін ………………………………………………. 28

6.3.2.Аналітичний пошук допустимого діапазону зміни цін ………………………………………... 29

7.Лабораторна робота №1 «Графічний метод розв’язання одно-

індексних задач лінійного програмування» ………………..…… 32

7.1.Індивідуальні завдання до лабораторної роботи № 1 ...... 33

Основна література …………………………………………………………….. 43 Додаткова література …………………………………………………………... 43 Перелік методичних вказівок та матеріалів …………………………………... 43

3

Лінію нульового рівня можна інтерпретувати як геометричне місце точок площини, у кожній з яких значення цільової функції дорівнює нулю. Розглянемо вектор-градієнт цільової функції:

Цей вектор указує напрямок найшвидшого зростання (спадання)

цільової функції. Зазначимо, що вектор-градієнт F у кожній точці координатної площини х1ох2 перпендикулярний до лінії рівня функції F, що проходить через цю точку.

2. Алгоритм розв’язання задачі лінійного програмування графічним методом

Розв’язання ЗЛП графічним методом складається з наступних етапів: 1) У площині х1ох2 будують область допустимих планів даної ЗЛП –

область :

F=0

Рис. 1

2)Знаходять вектор-градієнт F ;

3)Будують лінію нульового рівня F 0;

4)Лінію нульового рівня переміщують уздовж градієнтного напрямку

(рис. 1) і визначають ту вершину опуклого многогранника (область допустимих розв’язків (ОДР) задачі лінійного програмування), що вперше стикається з лінією рівня. Ця вершина й буде відповідати оптимуму цільової

функції типу мінімум: F* F(P ) .

min 1

Потім лінію рівня переміщують вглиб (рис. 1) і відшукують ту вершину многогранника , після якої лінія рівня буде залишати зазначену область. Ця вершина й буде відповідати оптимуму цільової функції типу максимум: Fmax* F (P4 ) .

5

5) Для одержання розв’язку задачі знаходять координати відповідних вершин багатогранника й обчислюють значення цільової функції в цих точках.

Приклад 1. Деяке підприємство освоїло виробництво продукції двох видів А и В, використовуючи при цьому сировину чотирьох типів S1, S2, S3, S4. Запаси сировини й норма їхньої витрати на виробництво одиниці продукції зазначені в таблиці. Відомо, що прибуток підприємства від реалізації одиниці продукції виду А становить 7 ум.од., а від реалізації одиниці товару типу В – 5 ум.од. Визначити такий план випуску продукції, який би дозволив підприємству дістати максимальний прибуток.

Сформулюємо задачу математично. Через х1 позначимо кількість виробів виду А, а через х2 – кількість виробів виду В, які необхідно виготовити за планом. Значення функції F 7x1 5x2 – прибуток підприємства від реалізації зробленої продукції.

Дотримуючи послідовності дій при використанні графічного методу розв’язання, будують область допустимих планів (використовуючи систему обмежень ЗЛП й умови незаперечності), вектор-градієнт цільової функції F = {7; 5}, лінію нульового рівня 7х1 + 5х2 = 0.

Переміщаючи лінію нульового рівня уздовж градієнтного напрямку (рис. 2), знаходимо, що

Fmax* F(P4 ).

Визначимо координати вершини Р4.

Визначник системи:

Тому що 4 0 , то система сумісна і за теоремою Крамера має єдиний розв’язок.

Рис. 2

Обчислимо допоміжні визначники:

Таким чином, шукані координати вершини Р4(5; 3). Якщо відомі координати точки Р4, то можна визначити максимальне значення цільової функції:

7

50 ум.од. підприємству при заданих обмеженнях на запаси сировини варто робити п'ять виробів типу А и три вироби типу В.

3.Особливості розв’язків задачі лінійного програмування графічним методом

область допустимих планів (рис. 3).

F*max= F(Р1).

F*min= F(Р4).

Рис. 3

F*max= F(Р3),

а мінімальне значення цільової функції досягається в кожній точці ребра Р1Р5 багатокутника (рис. 4).

Записуємо рівняння відрізка

8

Лінійна форма необмежена

зверху (рис. 5), отже, F*max (асимптотичний максимум)

F*min=F(Р2)

Рис. 5

Система обмежень несумісна – задача не має розв’язку (рис. 6).

Рис. 6

Область допустимих розв’язків є єдина точка Р

(рис. 7).

F*min= F*max = F(Р)

Рис. 7

Властивості розв’язків задачі лінійного програмування сформулюємо у вигляді теорем.

Теорема. Для існування оптимальних розв’язків задачі лінійного програмування необхідно й достатньо, щоб багатокутник розв’язків містив хоча б одну точку, і щоб лінійна форма F на ньому була обмежена знизу при

9