1.Теория наибольших нормальных напряжений

Исторически эта теория является первой. Ее принято связывать с именами Галилея (1638г.), Лейбница, Ламе, Клебша, Ранкина. В соответствие с этой теорией считается, что опасным напряженное состояние будет в том случае, если наибольшее из нормальных напряжений достигнет предельной величины. Предельное значение наибольшего нормального напряжения устанавливается из опыта на осевое растяжение или сжатие.

Таким образом, эквивалентные напряжения, обеспечивающие безопасность напряженного состояния, в соответствии с первой теорией прочности имеет вид:

.

Если принять, что , то первая теория прочности принимает вид:

. (10.17)

Сформулировать эту теорию можно следующим образом: напряжеенное состояние в точке остается безопасным, пока наибольшее из главных напряжений в этой точке не достигнет некоторой определенной для данного материала допускаемой величины, определяемой из опыта на осевое растяжение.

Недостатком этой теории является то, что она учитывает влияние на оценку прочности только одного из главных напряжений. Влияние двух других главных напряжений в оценки прочности не участвуют. Практика показала, что первая теория подтверждается опытом только для некоторых хрупких материалов (камень, мрамор, песчанник и т.п.). Для оценки прочности пластичных материалов эта теория не применяется, так как совершенно не подтверждается экспериментом.

2. Теория наибольших линейных деформаций

В конце 17 века (1682) в противовес первой теории французским аббатом Мариоттом была выдвинута еще одна теория – теория наибольших линейных деформаций. С этой теорией связывают имена таких ученых, как Сен-Венан, Понселе, Навье. В соответствии с этой теорией опасность разрушения материала вызывается изменением расстояний между частицами, которое характеризуется относительным удлинением. В своем начальном виде эта теория допускала опасность разрушения как при внешнем удалении частиц друг от друга, так и при их излишнем сближении. Опасное состояние согласно этой теории можно описать следующим образом:

.

Здесь:  наибольшая линейная деформация, вызванная действием главных напряжений: . В качестве определенности примем в качестве максимальной линейную деформацию. В соответствии с обобщенным законом Гука (9.73) наибольшая относительная линейная деформация в предельном состоянии достигает величины:

, (а)

где  предельная деформация, определяемая из опыта на растяжение или сжатие.

Допускаемое значение для относительной продольной деформации при одноосном напряженном состоянии можно получить из закона Гука:

. (б)

Напряженное состояние в точке остается безопасным до тех пор, пока наибольшая относительная деформация в этой точке не достигнет некоторой определенной для данного материала допускаемой величины, определяемой из опыта на осевое растяжение.

С учетом выражений (а) и (б) математически эту теорию можно описать так:

. (10.18)

Преимущество этой теории по сравнению с первой состоит в том, что эта теория включает влияние на оценку прочности материала всех трех главных напряжений. Тем не менее, эта теория плохо подтверждается экспериментом. Это объясняется тем, что при вычислении эквивалентных напряжений в соответствии с этой теорией лишь одно из главных напряжений участвует полностью. Два других участвуют в оценке прочности с коэффициентом Пуассона, величина которого для большинства конструкционных материалов менее 0,5 ().

Опыт показал, что эта теория несколько лучше первой, подтверждается экспериментом для хрупких материалов и до сих пор встречается в технике. Объясняется это, в частности, большой работой, выполненной в свое время Сен-Венаном по детальной разработке применения этой теории к решению практических задач. Многие специализированные формулы, предложенные им, до сих пор встречаются в литературе под именем формул Сен-Венана.