7) Основні поняття слр

Систему m рівнянь з n невідомими вигляду

СЛАР звуть однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь нульові, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля.Перший індекс коефіцієнта при змінній вказує на номер рівняння, а другий — на номер невідомої, при якій стоїть цей коефіцієнт. Кількість рівнянь m може й не дорівнювати кількості змінних n.

Якщо число рівнянь дорівнює числу невідомих, то матриця (A ) вихідної системи - квадратна,

Систему рівнянь називають сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Сумісну систему називають визначеною, якщо вона має один-єдиний розв’язок невизначеною, якщо вона має більше одного розв’язку.

Розширена матриця, це матриця отримана шляхом деяких змін початкової.

Векторна форма еквівалентна матричній формі запису де A — матриця m×n, x — векторзn компонент, b — вектор з m компонент.

Число векторів в базисі лінійної оболонки векторів є рангом матриці.

9) Розв'язок систем лiнiйних рівнянь методом Гауса.

Ме́тод Га́уса —алгоритм розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Прямий хід: Шляхом елементарних перетворень рядків(додавань до рядка іншого рядка, помноженого на число, і перестановок рядків) матриця приводиться до верхньотрикутного вигляду(ступінчатого вигляду).

З цього моменту починається зворотний хід.

З останнього ненульового рівняння виражаємо кожну з базисних змінних через небазисні і підставляємо в попередні рівняння. Повторюючи цю процедуру для всіх базисних змінних, отримуємо фундаментальний розв'язок.

8) Розв'язок слр за допомогою правила Крамера.

Метод Крамера (Крамера правило)— спосіб розв'язання квадратних СЛАУ із ненульовим визначником основної матриці.

Для системи лінійних рівнянь зневідомими (над довільним полем)

з визначником матриці системи, що не рівний нулю, розв'язок записується у такому вигляді:

(i-й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів).Іншим чином правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів c₁, c₂, …, c_n виконується рівність:

10) Розв'язок систем лiнiйних рівнянь матричним методом.

Матричний метод рішення (метод вирішення через зворотну матрицю) систем лінійних алгебраїчних рівнянь з ненульовим визначником полягає в наступному. Нехай дана система лінійних рівнянь з n невідомими (над довільним полем):

Тоді її можна переписати в матричній формі: AX = B, де A - основна матриця системи, B і X - стовпці вільних членів і рішень системи відповідно:

Помножимо це матричне рівняння зліва наматрицю, зворотний до матрицітак якотримуємо Права частина цього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. Умовою застосовності даного методу (як і взагалі існування рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь з числом рівнянь, рівним числу невідомих) є невироджені матриці A. Необхідною і достатньою умовою цього є нерівність нулю визначника матриці A:

Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто коли вектор B = 0, дійсно зворотне правило: система AX = 0 має нетривіальне (тобто ненульове) рішення тільки якщо det A = 0. Такий зв'язок між рішеннями однорідних і неоднорідних систем лінійних рівнянь носить назву альтернативи Фредгольма.