- •2) Действия над матрицами
- •4) Основні поняття визначників
- •5) Властивості визначників
- •7) Основні поняття слр
- •9) Розв'язок систем лiнiйних рівнянь методом Гауса.
- •8) Розв'язок слр за допомогою правила Крамера.
- •10) Розв'язок систем лiнiйних рівнянь матричним методом.
- •11) Основні поняття векторів
- •12. Лiнiйнi дiї з векторами у координатній формі
- •13. Скалярним добутком векторів:
- •14 Векторний та мішаний добутки двох векторів
- •1)Способы задания прямой на плоскости.
- •2) Основні види рівнянь прямої на площині
- •5) Загальне рівняння ліній другого порядку
- •13) Взаємне розташування двох прямих у просторі
- •14) Взаємне розташування прямої та площини у просторі
- •15) Функції
- •16) Границя функції
- •17) Бесконечно малые величины
- •18)Бесконечно большие величины
- •19) Первый замечательный предел
- •20) Второй замечательный предел
- •22) Неперервність функції
- •21) Розкриття невизначеностей
12. Лiнiйнi дiї з векторами у координатній формі
Колінеарність: Вектори є колінеарними тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нулю.
Рівність векторів: Нехай i— два вектори площини (або простору). Кажуть, що вектор || дорівнює вектору, і записують=, якщо: 1)довжина відрізка AB дорівнює довжині відрізка CD; 2)променіAB i CD однаково напрямлені.
Лiнiйнi дiї з векторами у координатній формі :
Додаваня векторів
Правило трикутника: Сумою двох векторів називається вектор, який з’єднує початок вектораз кінцем вектора(початок вектораспівпадає з кінцем вектора).
Суму двох векторів можна знайти і за правилом паралелограма: якщо вектори прикладені до спільного початку, то їх сумою є вектор, який співпадає з діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах, і який виходить із спільного початку.
Якщо є більше двох векторів, то для знаходженням їх суми використовують правило многокутника.
Віднімання векторів
Різницею двох векторів називається вектор, сума якого з векторомдорівнює вектору.
Початок вектора є кінцем вектора, який віднімається. Кінець вектораспівпадає з кінцем вектора, від якого віднімають вектор.
У паралелограма, який побудовано на двох векторах , одна діагональ - сума цих векторів, а друга – їх різниця
Множення вектора на число
Добутком ненульового вектора на число k0 наз. вектор k.
Вектор kмає довжину, він співнаправлений (має однаковий напрям) з вектором, якщо k>0 та протилежно направлений вектору, якщо k<0.
13. Скалярним добутком векторів:
Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
Якщо вектор має координати (х1, y1), а вектор координати (х2,y2), то:
Наслідок І. ; ІІ. Якщо , то.
Властивості
1. Комутативність . 2. Лінійність за кожним співмножником ,де – довільне дійсне число. 3. Дистрибутивність щодо додавання . 4. Скалярний добуток векторів тадорівнює нулю тоді і лише тоді, коли вектори ортогональні або один із них дорівнює нуль-вектору , або , або.
Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.
Обчислення кута міждвома векторами.
За означенням скалярного добутку .
Отже, якщо , то
тобто, косинус кута між ненульовими векторами дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на добуток їхніх довжин.
Нехай у просторі маємо прямокутну декартову систему координат, і нехай задано вектори задані своїми координатамиi. Тоді як відомо
, ,, дістанемо формулу
Ця формула дає змогу обчислити косинус кута між векторами за координатами цих векторів.
Проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між вектором і віссю:
пр
Проекція на вісь суми векторів дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вісьвекторів-доданків:пр
Проекція на вісь добутку векторана скалярдорівнює добуткові цього ж скаляра на проекцію вектора на вісь: