- •2) Действия над матрицами
- •4) Основні поняття визначників
- •5) Властивості визначників
- •7) Основні поняття слр
- •9) Розв'язок систем лiнiйних рівнянь методом Гауса.
- •8) Розв'язок слр за допомогою правила Крамера.
- •10) Розв'язок систем лiнiйних рівнянь матричним методом.
- •11) Основні поняття векторів
- •12. Лiнiйнi дiї з векторами у координатній формі
- •13. Скалярним добутком векторів:
- •14 Векторний та мішаний добутки двох векторів
- •1)Способы задания прямой на плоскости.
- •2) Основні види рівнянь прямої на площині
- •5) Загальне рівняння ліній другого порядку
- •13) Взаємне розташування двох прямих у просторі
- •14) Взаємне розташування прямої та площини у просторі
- •15) Функції
- •16) Границя функції
- •17) Бесконечно малые величины
- •18)Бесконечно большие величины
- •19) Первый замечательный предел
- •20) Второй замечательный предел
- •22) Неперервність функції
- •21) Розкриття невизначеностей
Основні поняття матриць
Матриця- сукупність чисел, розміщених у вигляді прямокутної таблиці розміром m*n, де m - кількість рядків, n - кількість стовпчиків.
Матриці A=(aij) та B=(bij) називаються рівними (однаковими), якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців і всі їхні елементи, розташовані на однакових місцях, є рівними (тобто aij=bij для всіх значень i та j).
Матриця називається квадратною, якщо кількість її рядків співпадає із кількістю стовпців (n=m).
Квадратна матриця у якої всі елементи, які знаходяться за головною діагоналлю = 0, наз. діагональною.
Квадратна матриця E=(eij) називається одиничною, якщо
Матриця O називається нульовою, якщо всі її елементи є нулями:
Матриця, що складаєтьсь з 1 рядка, або 1 стовпчика наз. Вектор-рядком, або вектор-стовпчиком.
Матриця у якої всі елементи розміщені над(під) головною діагоналлю = 0 наз. трикутною.
2) Действия над матрицами
1) умножение матрицы на число
Что бы умножить матрицу на число, нужно умножить все элементы матрицы на это число
(-1)*А – противоположная матрица
2) сложение матриц
Суммой двух матриц А и В одинакового размера наз. матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов А и В.
3) умножение матриц
Если кол. столбцов 1 матрицы равняется кол. строк второй(2*2 2*3), то по правилу: строка на столбец.
Две матрицы А и В наз. перестановочными, если А*В=В*А
4) транспонирование матрицы
Матрица полученная из матрицы А заменой каждой строки столбцом с тем же номером.( AT)
AТ =А - симметричная
Обратная матрица
Обра́тная ма́трица — такая матрицаA−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицуE:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.
Метод вычисления обратной матрицы:
1. Вычислить определитель данной матрицы. Если, то обратной матрицы не существует (матрицаА вырожденная).
2. Составить матрицу из алгебраических дополненийэлементов матрицыА.
3. Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу.
4. Найти обратную матрицу , разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель
4) Основні поняття визначників
Число яке ставиться у відповідність кожної квадратної матриці наз. визначником(детермінантом). detA=|A|
Визначником матриці другого порядку
наз. число
Визначником матриці третього порядку наз. число D(A)=
Мінором Mij елемента aij визначника називається визначник розміру(n-1)×(n-1) , який утворюється з визначника викреслюваннямi-го рядка та j-го стовпця.
Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij називається його мінор, узятий з відповідним знаком
Для визначника довільного порядку виконується така
Теорема. Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів.
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
Ранг матриці – це кількість не нульових рядків верхньої трикутної матриці.
5) Властивості визначників
1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями:
.
Ця властивість указує на рівноправність рядків і стовпців визначника.
2. Визначник змінить знак на протилежний, якщо переставити місцями два рядки (два стовпці). Наприклад,
.
3. Якщо всі елементи рядка (стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
4. Визначник з двома однаковими рядками (стовпцями) дорівнює нулю.
5. Спільний множник усіх елементів рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.
.
6. Визначник, який містить два пропорційні рядки (стовпці), дорівнює нулю.
.
7. Якщо елементи деякого рядка (стовпця) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників.
.
8. Якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число, то значення визначника не зміниться.