Задача 5.4.

Виробниче об’єднання складається з трьох філіалів А₁, А₂, А₃, які виготовляють однорідну продукцію в кількості відповідно 1000, 1500 та 1200 од. на місяць. Ця продукція відправляється на два склади D₁, D₂ місткістю відповідно 2500 та 1200 од., а потім — до п’яти споживачів B₁, B₂, …, B₅, попит яких становить відповідно 900, 700, 1000, 500 і 600 од. Вартість перевезення одиниці продукції (в умовних одиницях) від виробника на склад, а потім зі складів — до споживачів наведено в таблицях.

A			Вартість, ум. од., перевезення від виробника на склад
			D1				D2
А1			2				8
А2			3				5
А3			1				4
Завод	Вартість, ум. од., перевезення із складів до споживачів
		В1		В2	В3	В4		В5
D1		1		3	8	5		4
D2		2		4	5	3		1

Крім того, за індивідуальними контрактами можливі також безпосередні поставки продукції з першого філіалу до другого споживача, а також з третього філіалу — до четвертого споживача. Вартість транспортування одиниці продукції за транзитним маршрутом А₁B₂ дорівнює 3 ум. од., а за маршрутом А₃B₄ — 4 ум. од. Перевезення продукції зі складу на склад неприпустиме.

Сформулювати поставлену задачу як транспортну з проміжними пунктами (двоетапну) та визначити її оптимальний план.

Розв’язування. У поставленій задачі кожний склад можна подати як вихідний пункт відправлення продукції і як пункт призначення. Тому вони відіграють роль і постачальника продукції, і її споживача.

Перевезення продукції безпосередньо від філіалів до споживачів (крім випадків, визначених в умові задачі), а також зі складу на склад блокується за допомогою досить великої вартості М.

Побудовану з урахуванням цього транспортну таблицю двоетапної задачі наведено далі.

A, D	D, B							ui
	D1 = 2500	D2 = 1200	В1 = 900	В2 = 700	В3 = = 1000	В4 = 500	В5 = 600
A1 = 1000	– 2 1000	8	M	3 0+	M	M	M	u1 = 0
A2 = 1500	3 300	5 1200	M	M	M	M	M	u2 = 1
A3 = 1200	1 1200	4	M	M	M	4 1	M	u3 = –1
D1 = 2500	0 2 +	M	1 900	3 700–	8 900	5 1	4	u4 = 0
D2 = 1200	M	0 1	2	4	5 100	3 500	1 600	u5 = –3
vj	v1 = 2	v2 = 4	v3 = 1	v4 = 3	v5 = 8	v6 = 6	v7 = 4

Тому Z₁ = 2  1000 + 3  300 + 5  1200 + 1  1200 + 1  900 + + 3  700 + 8  900 + 5  100 + 3  500 + 1  600 = 22 900 ум. од.

Зауважимо, що в клітинках D₁D₁ і D₂D₂ розміщується нульова вартість перевезення продукції. Це допускає можливість неповного використання складських приміщень у зв’язку з можливим транзитним транспортуванням продукції.

Поставлена транспортна задача є збалансованою, тобто

од.;

од.,

і тому немає потреби вводити фіктивного постачальника або спо­живача.

Перший опорний план транспортної задачі побудовано методом мінімальної вартості.

Перший опорний план задачі неоптимальний. Перехід від нього до другого плану виконуємо, заповнюючи порожню клітинку D₁D₁ згідно з побудованим циклом.

A, D	D, B							ui
	D1 = = 2500	D2 = = 1200	В1 = 900	В2 = 700	В3 = 1000	В4 = 500	В5 = 600
A1 = 1000	2 300	8	M	3 700	M	M	M	u1 = 2
A2 = 1500	3 300	5 1200	M	M	M	M	M	u2 = 3
A3 = 1200	1 –1200	4	M	M	M	4 3	M	u3 = 1
D1 = 2500	0 +700	M	1 900	3	8 900–	5 1	4	u4 = 0
D2 = 1200	M	0	2	4	5 +100	3 500–	1 600	u5 = = –3
vj	v1 = 0	v2 = 2	v3 = 1	v4 = 1	v5 = 8	v6 = 6	v7 = 4

Тому Z₁ = 2  300 + 3  700 + 3  300 + 5  1200 + 1  1200 + + 1  900 + 8  900 + 5  100 + 3  500 + 1  600 = 21 500 ум. од.

Таблиця, що відповідає третьому опорному плану задачі, має такий вигляд:

A, D	D, B							ui
	D1 = = 2500	D2 = = 1200	В1 = 900	В2 = 700	В3 = = 1000	В4 = 500	В5 = 600
A1 = 1000	2 300	8	M	3 700	M	M	M	u1 = 0
A2 = 1500	3 300	5 1200	M	M	M	M	M	u2 = 2
A3 = 1200	1 700	4	M	M	M	4 500	M	u3 = 3
D1 = = 2500	0 1200	M	1 900	3	8 400	5	4	u4 = 0
D2 = = 1200	M	0	2	4	5 600	3	1 600	u5 = –3
vj	v1 = 0	v2 = 2	v3 = 1	v4 = 1	v5 = 8	v6 = 3	v7 = 4

В останній таблиці маємо оптимальний план транспортної задачі:

Z_min = 2  300 + 3  700 + 3  300 + 5  1200 + 1  700 + 4  500 + + 1  900 + 8  400 + 5  600 + 1  600 = 20 000 ум. од.

Для більшої наочності оптимальний план перевезення продук­ції двоетапної транспортної задачі подамо у вигляді схеми.

Зі схеми бачимо, що на перший склад надходить лише 300 + 300 + 700 = 1300 од. продукції, тобто його місткість використовується не повністю (D₁D₁ = 1200 од.). Це виникає внаслідок прямих поставок продукції за маршрутом А₁В₂ у кількості 700 од. і А₃В₄ — у кількості 500 од.

Розглянута транспортна задача має ще один альтернативний оптимальний план, який відрізняється від першого лише в частині, що стосується перевезення продукції зі складів до третього та п’ятого споживачів.

Поряд із розглянутою у транспортних задачах із проміжними пунктами можуть зустрічатися також такі ситуації:

1. Незбалансованість транспортної задачі (). У цьому разі необхідно ввести або фіктивного постачальника, або фіктивного споживача, звівши задачу до закритого типу.

2. Місткість проміжних пунктів не відповідає загальному обсягу продукції постачальників: а) коли (у цьому разі потрібно або ввести фіктивний проміжний пункт, і кількість продукції, що «перевозитиметься» до нього, має означати невивезену частину продукції відповідного постачальника, або дозволити транзитні перевозки за обсягом не менш як(од.)); б) коли(у цьому разі немає потреби вводити фіктивного постачальника і заздалегідь зрозуміло, що місткість проміжних пунктів повністю не використовуватиметься).

3. Місткість проміжних пунктів не відповідає загальній потребі споживачів: а) (у цьому разі потрібно або ввести фіктивний проміжний пункт, і кількість продукції, що «перевозитиметься» від нього до споживачаВ, має означати незадоволений попит відповідного споживача, або дозволити пряме перевезення продукції від постачальників до споживачів за обсягом не менш як (од.)); б)(аналогічно п. 2б).