Задача 5.3.

Три нафтопереробних заводи А₁, А₂, А₃, із максимальною щоденною продуктивністю відповідно 30, 20, 15 тис. т бензину забезпечують чотири бензосховища B₁, B₂, B₃, B₄, потреба яких становить відповідно 10, 20, 25 та 20 тис. т. бензину. Бензин транспортується до бензосховищ за допомогою трубопроводів. Вартість перекачування 1000 т бензину від заводів до сховищ (в умовних одиницях) наведено в таблиці.

Завод	Вартість, ум. од., перекачування 1000 т бензину до сховищ
	В1	В2	В3	В4
А1	4	5	3	7
А2	7	6	2	5
А3	2	3	9	8

Cформулювати та розв’язати відповідну транспорту задачу з неодмінним виконанням таких умов:

1)  повністю задовольнити попит бензосховища B₄;

2) недопостачання бензину до сховища B₂ штрафується 5 ум. од. вартості за кожні 1000 т бензину;

3) у зв’язку з виконанням ремонтних робіт на трубопроводі постачання бензину із заводу А₁ до сховища B₁ тимчасово неможливе.

Розв’язування. Визначимо, до якого типу належить транспортна задача:

, .

За умовою транспортна задача є відкритою, незбалансованою. Зведення її до закритого типу потребує введення додаткового фіктивного постачальника А₄ з продуктивністю а₄ = 75 – 65 = 10 (тисяч тон). Кількість бензину, що «відправляється» фіктивним заводом до бензосховищ, в оптимальному плані означатиме обсяг незадоволеного попиту в цьому пункті призначення. Тому для виконання першої додаткової вимоги задачі необхідно блокувати клітинку фіктивного постачальника А₄ та споживача B₄, записавши в ній досить високу вартість М. Тоді в оптимальному плані транспортної задачі ця клітинка обов’язково буде незаповненою.

Виконання другої умови задачі забезпечується тим, що в рядку фіктивного постачальника у стовпчику B₂ вартість транспортування 1000 т бензину дорівнюватиме 5 ум. од. замість нуля.

Оскільки неможливо транспортувати бензин від заводу А₁ до сховища B₁, необхідно також блокувати маршрут А₁B₁. Для цього в зазначеній клітинці замість с₁₁ = 4 записуємо величину М.

З огляду на викладене таблиця для першого плану транспортної задачі має такий вигляд (початковий опорний план побудовано методом апроксимації Фогеля).

Aj	Bj				ui	Різниці для рядків
	B1 = 10	B2 = 20	B3 = 25	B4 = 20
A1 = 30	М	5 –15	3 5	7 10+	u1 = 0	2 2 2
A2 = 20	7	6	2 20	5 1	u2 = –1	3 3 3
A3 = 15	1 –10	3 5+	9	8	u3 = –2	2 5
A4 = 10	0 М – 4	5 М – 7	0 М – 4	М 10–	u4 = М –7
vj	v1 = 3	v2 = 5	v3 = 3	v4 = 7
Різниці для стовпчиків	6	2 2 1	1 1 1	2 2 2

Отже, перший опорний план задачі неоптимальний. Найбільше порушення умови оптимальності відповідає порожнім клітинкам А₄B₁ та А₃B₃ таблиці. Оскільки обидві вони мають однаковий коефіцієнт с₄₁ = с₄₃ = 0, то для заповнення можна вибрати будь-яку з них, наприклад А₄B₁. Перехід до другого плану виконується за таким циклом:

При цьому заблокована клітинка А₄B₄ звільняється.

Подальше розв’язування задачі подано у вигляді таблиць.

Aj	Bj				ui
	B1 = 10	B2 = 20	B3 = 25	B4 = 20
A1 = 30	М	5 5	3 +5	7 20–	u1 = 0
A2 = 20	7	6	2 –20	+ 5 1	u2 = –1
A3 = 15	1 0	3 15	9	8	u3 = –2
A4 = 10	0 10	5	0	М	u4 = –3
vj	v1 = 3	v2 = 5	v3 = 3	v4 = 7

Aj	Bj				ui
	B1 = 10	B2 = 20	B3 = 25	B4 = 20
A1 = 30	М	5 5	3 25	7 М	u1 = 0
A2 = 20	7	6	2 0	5 20	u2 = –1
A3 = 15	1 0	3 15	9	8	u3 = –2
A4 = 10	0 10	5	0	М	u4 = –3
vj	v1 = 3	v2 = 5	v3 = 3	v4 = 6

В останній таблиці маємо оптимальний план транспортної задачі.

Тому

,

Z_min = 5  5 + 5  25 + 5  20 + 3  15 = 245 ум. од.

Через незбалансованість поставленої транспортної задачі спостерігатиметься недопостачання бензину до першого бензосховища в кількості 10000 т. Загальні витрати на транспортування в цьому разі будуть найменшими і становитимуть 245 ум. од.

Альтернативний оптимальний план дістанемо, заповнивши клітинку А₄В₃ (для неї u₄ + v₃ = c₄₃) згідно з таким циклом:

Тоді можна записати:

,

Z_min = 5  15 + 3  15 + 5  20 + 1  10 + 3  15 = 245 ум. од.

Мінімальні загальні витрати на транспортування в розмірі 245 ум. од. відповідають також ще одному оптимальному плану задачі, згідно з яким третє бензосховище отримає на 10000 т бензину менше, ніж потребує.

Існування двох альтернативних оптимальних планів розглянутої транспортної задачі розширює можливості стосовно остаточного прийняття рішення.