Розділ 2

ЗАГАЛЬНА ЗАДАЧА ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ТА МЕТОДИ ЇЇ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

2.1. Загальна математична модель лінійного програмування

Загальна лінійна математична модель економічних процесів і явищ — так звана загальна задача лінійного програмування (ЛП) подається у вигляді:

знайти максимум (мінімум) функції (2.1)

або

за умов

(2.2)

. (2.3)

Отже, потрібно знайти значення змінних x₁, x₂, …, x_n, які задовольняють умови (2.2) і (2.3), тоді як цільова функція набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Задачу (2.1)—(2.3) легко звести до канонічної форми, тобто до такого вигляду, коли в системі обмежень (2.2) всі b_і (і = 1, 2, …, n) невід’ємні, а всі обмеження є рівностями.

Якщо якесь b_і від’ємне, то, помноживши і-те обмеження на (–1), дістанемо у правій частині відповідної рівності додатне значен- ня. Коли і-те обмеження має вигляд нерівності , то останню завжди можна звести до рівності, увівши допоміжну зміннуx_n + 1: .

Аналогічно обмеження виду зводимо до рівності, віднімаючи від лівої частини допоміжну зміннух_n + 2, тобто

Приклад 2.1.

Записати в канонічній формі таку задачу ЛП:

max

за умов

.

Розв’язування. Помножимо другу нерівність на (–1) і введемо відповідно допоміжні змінні х₄ і х₅ для другого та третього обмеження:

Неважко переконатися, що допоміжні змінні, у цьому разі х₄ і х₅, є невід’ємними, причому їх уведення не змінює цільової функції.

Отже, будь-яку задачу ЛП можна записати в такій канонічній формі:

знайти максимум функції max (2.4)

за умов

(2.5)

. (2.6)

Задачу (2.4)—(2.6) можна розв’язувати на мінімум, якщо цільову функцію помножити на (–1), тобто

.

2.2. Форми запису задач лп

Задачу ЛП (ЗЛП) зручно записувати за допомогою знака суми «». Справді, задачу (2.4)—(2.6) можна подати так:

за умов

Ще компактнішим є запис ЗЛП у векторно-матричному вигляді:

за умов

АХ = А₀,

Х 0,

де

є матриця коефіцієнтів при змінних;

— вектор змінних;— вектор вільних членів;

С = (с₁, с₂, …, с_п) — вектор коефіцієнтів при змінних у цільовій функції.

Часто ЗЛП зручно записувати у векторній формі:

за умов

,

,

де

,, …,

є вектори коефіцієнтів при змінних.

2.3. Геометрична інтерпретація злп

Геометричну інтерпретацію ЗЛП розглянемо на такому прикладі. Нехай фермер прийняв рішення вирощувати озиму пшеницю і цукровий буряк на площі 20 га, відвівши під цукровий буряк не менш як 5 га. Техніко-економічні показники вирощування цих культур наведені в таблиці:

№ п/п	Техніко-економічний показник із розрахунку на 1 га	Сільськогосподарська культура		Наявний ресурс
		Озима пшениця	Цукровий буряк
1	Жива праця, людино-днів	5	25	270
2	Механізована праця, людино-днів	2	8	80
3	Прибуток, тис. грн.	0,7	1

Критерієм оптимальності є максимізація прибутку.

Запишемо економіко-математичну модель структури виробництва озимої пшениці та цукрового буряка, скориставшись такими позначеннями:

х₁ — шукана площа посіву озимої пшениці;

х₂ — шукана площа посіву цукрового буряка.

ЗЛП має вигляд:

(2.7)

за умов

, (2.8)

, (2.9)

, (2.10)

, (2.11)

,. (2.12)

Геометричну інтерпретацію задачі наведено на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Область допустимих розв’язків

Область допустимих розв’язків дістаємо так. Кожне обмеження, наприклад х₁ + х₂ ≤ 20, задає півплощину з граничною прямою х₁ + х₂ = 20. Будуємо її і визначаємо півплощину, яка описується нерівністю х₁ + х₂ ≤ 20. З цією метою в нерівність х₁ + х₂ ≤ 20 підставляємо координати якоїсь характерної точки, скажімо х₁ = 0 і х₂ = 0. Переконуємося, що ця точка належить півплощині х₁ + х₂ ≤ 20. Цей факт на рис. 2.1 ілюструємо відповідною напрям­леною стрілкою. Аналогічно будуємо півплощини, які відповідають нерівностям (2.8)—(2.12). У результаті перетину цих півплощин утворюється область допустимих розв’язків задачі (на рис. 2.1 — многокутник ABCD). Цільова функція описує сім’ю паралельних прямих, кожна з яких відповідає певному значеннюZ. Зокрема, якщо Z = 0, маємо 0,7х₁ + х₂ = 0. Ця пряма проходить через початок системи координат. Коли Z = 3,5, дістаємо пряму 0,7х₁ + х₂ = 3,5.

Загальна задача лінійного програмування (2.1)—(2.3) геометрично інтерпретується так: кожне і-те обмеження, що має вигляд рівняння

,

у п-вимірному просторі основних змінних х₁, х₂, …, х_п задає гіперплощину. Кожному обмеженню виду (2.2) і (2.3) відповідають гіперплощина та півпростір, який лежить по один бік цієї гіперплощини. У перетині всіх півпросторів, що визначаються обмеженнями задачі (2.2) і (2.3), утворюється опуклий многогранник допустимих її розв’язків.

Цільову функцію

в п-вимірному просторі основних змінних можна геометрично інтерпретувати як сім’ю паралельних гіперплощин, положення кож­ної з яких визначається значенням параметра Z.

2.4. ОСНОВНІ АНАЛІТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ РОЗВ’ЯЗКІВ ЗАДАЧ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

Вектор Х = (х₁, х₂, …, х_п), координати якого задовольняють сис­темі обмежень (2.2) і (2.3), називають допустимим розв’язком, або допустимим планом задачі. Сукупність допустимих розв’яз­ків (пла­нів) задачі утворює область допустимих розв’язків задачі.

Опорним планом задачі лінійного програмування називається план, утворений координатами вершини многогранника планів задачі. Отже, опорний план — це план, який задовольняє не менш ніж п лінійно незалежних обмежень (2.2) у вигляді строгих рівностей разом з обмеженням (2.3) щодо знака.

Опорний план називається невиродженим, якщо він є вершиною многогранника планів задачі, утвореного перетином точно п гіперплощин, тобто задовольняє п лінійно незалежних обмежень — строгих рівностей. У противному разі опорний план є виродженим.

Якщо задача лінійного програмування має розв’язок і серед її планів є опорні, то хоча б один із них буде оптимальним.

Сукупність усіх розв’язків задачі лінійного програмування є многогранною опуклою множиною, яку називають многогранником розв’язків.

Якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин многогранника розв’язків. Якщо цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього многогранника, то вона досягає його і в будь-який точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.