lab / Лабораторна робота 2

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІНСТИТУТ КОМП’ЮТЕРНИХ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЇ ІНФОРМАТИКИ

ЗВІТ З ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ №2

З ДИСЦИПЛІНИ: «ФУНКЦІОНАЛЬНИЙ І ОПУКЛИЙ АНАЛІЗ»

НА ТЕМУ: «МЕТРИЧНІ ПРОСТОРИ»

Виконав:

Студент ІКІТ

Гр. ТП-513

Зав'ялов Б.В

Перевірив:

Буйвол В.М

Київ – 2014

Теоретичні відомості

Множина X називається метричним простором, якщо кожній парі його елементів х і у поставлено у відповідність невід’ємне дійсне число р_х (х,_у), яке для довільних трьох елеме­нтів множини X задовольняє таким умовам:

1.р{х,у) = 0, якщо х=у;

2. р(х,у) = р{у,х);

3. р(х, у) < р{х, z) + p(z, у).

Це число р_х(х,у) має назву відстані між елементами х і у множини X.

Метричний простір називається повним, якщо кожна фундаментальна послідовність має границю, що належить цьому ж простору.

Множина М називається щільною в G , якщо G е М . А множина М називається всю­ди щільною в просторі X, якщо М = X.

Дослідити задану множину (простір) на визначення існування її метрики означає переві­рити, чи задовольняє запропонована метрик цим трьом аксіомам.

Завдання.

1. Довести, що множина всіх многочленів степеню п, заданих на проміжку [0,1] , є мет­ричний простір.

x=(ξ1, ξ2…ξn) y=(η1, η2…ηn)

1. 

2. 

3. 

Множина є метричним простором.

2. Нехай X — арифметичний п - вимірний простір, який складається з впорядкованих кортежів (су­купностей) з п дійсних чисел x=(ξ1, ξ2…ξn) y=(η1, η2…ηn). Якщо в цьому просторі ввести метрику такою формулою то чи буде цей простір метричним?

1. ;

2. ;

3. .

Множина є метричним простором.

3.Довести, що множина всіх визначених і неперервних на проміжку [а, b] функцій є метричним простором. Метрику простору визначити формулою

1. 

2. 

3. 

4. Довести, що простір, який складається з всіх нескінченних числових послідовностей x=(ξ1, ξ2…ξi…) , що задовольняють умову , є метричним. Метрику простору

визначити формулою

1. 

2. 

3. 

Простір є метричним

5.На множині R задана функція . Чи є вона метрикою?

1. 

2. 

3. 

Функція є метричною

6.Чи буде метрикою формула , якщо x,y є R.

1.

2.

3.

Функція не є метричною

7.Відомо, що Скласти збіжну послідовність наближених значень цього числа. Що можна сказати про простір, який складається з елементів xn ?

xn=(1; 1.7; 1.73; 1.732; 1.7320; 1.73205; 1.732050; 1.7320508;…). Якщо існує таке ε>0, і номер n0, починаючи з якого n>=n0, , то

Висновок

В цій лабораторній роботі ми вивчили основні поняття метричного простору, та змогли на прикладах перевірити, чи є деякі простори метричними.