lab / Laboratorna_Robota_3

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІНСТИТУТ КОМП’ЮТЕРНИХ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЇ ІНФОРМАТИКИ

ЗВІТ З ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ №3

З ДИСЦИПЛІНИ: «ФУНКЦІОНАЛЬНИЙ І ОПУКЛИЙ АНАЛІЗ»

НА ТЕМУ: «ЛІНІЙНІ ПРОСТОРИ»

Виконав:

Студент ІКІТ

Гр. ТП-513

Зав’ялов Б.В

Перевірив:

Буйвол В.М

Київ – 2014

Вступ

Множина Е з двома операціями над полем К називається векторним (або лінійним) простором над полем К, якщо виконуються такі аксіоми:

1 ) Е - абелева група відносно додавання. Кожній парі (x,y) елементів із Е ставиться у відпо­відність їх сума х + у, яка теж належить Е. Операція додавання асоціативна і комутативна, в Е існує нейтральний елемент такий, що х+0=0+х=х і кожний елемент х є Е має протиле­жний х + (-х) = 0.

2. кожному елементу хє Е і кожному скаляру а є К ставиться у відповідність елемент aх є Е, який є відображенням

(a,x) -> ax

добутку К х Е в Е, і це відображення задовольняє наступним умовам

а(х + у) =ax + aу, (α + β)x = αх + βх, α(βх) = (αβ)x, 1*x=x,

де х і у - довільні елементи з Е, а α і β - довільні скаляри з К; 1 - це одиничний елемент поля К і для довільного х є E справедливі рівності 0х = 0, (-1)x = -х.

Завдання.

1.Дослідити, чи є система функцій 2х, 4х² -1 лінійно незалежною на відрізку [-1,1].

Напишемо лінійну комбінацію елементів простору

Якщо всі , то такі елементи будуть лінійно незалежними. Якщо хоча б одне з чисел , елементи простору будуть лінійно залежними.

Підставимо значення х=-1, х=1 та вирішимо систему рівнянь.

Отже система функцій 2х, 4х² -1 лінійно незалежна на відрізку [-1,1].

2. Дослідити, чи є система функцій x, 2x² -1 лінійно незалежною на відрізку [-1,1].

Напишемо лінійну комбінацію елементів простору

Якщо всі , то такі елементи будуть лінійно незалежними. Якщо хоча б одне з чисел , елементи простору будуть лінійно залежними.

Підставимо значення х=-1, х=1 та вирішимо систему рівнянь.

Отже система функцій x, 2x² -1 лінійно незалежна на відрізку [-1,1].

3.Дослідити, чи є система функцій 1, cost,cos² t лінійно незалежною на відрізку [-π; π]

Розпишемо cos² t:

Напишемо лінійну комбінацію елементів простору

Якщо всі , то такі елементи будуть лінійно незалежними. Якщо хоча б одне з чисел , елементи простору будуть лінійно залежними.

Підставимо значення х=-π, х=0, х=π та вирішимо систему рівнянь.

Отже оскільки , тоді система функцій 1, cost, cos² t є лінійно залежною.

4. Дослідити, чи є система функцій 1, x лінійно незалежною на відрізку [-1,1].

Напишемо лінійну комбінацію елементів простору

Якщо всі , то такі елементи будуть лінійно незалежними. Якщо хоча б одне з чисел , елементи простору будуть лінійно залежними.

Підставимо значення х=-1, х=1 та вирішимо систему рівнянь.

Отже система функцій 1,x лінійно незалежна на відрізку [-1,1].

5.Дослідити, чи є система функцій 1, cos2t,cos² t лінійно незалежною на відрізку[-π; π]

Розпишемо cos² t:

Напишемо лінійну комбінацію елементів простору

Якщо всі , то такі елементи будуть лінійно незалежними. Якщо хоча б одне з чисел , елементи простору будуть лінійно залежними.

Підставимо значення х=-π, х=0, х=π та вирішимо систему рівнянь.

Отже оскільки , тоді система функцій 1, cos2t, cos² t є лінійно залежною.

6.Дослідити, чи є система функцій 1/2, cos(πt/l), sin(πt/l) лінійно незалежною на відрізку[-l; l]

Напишемо лінійну комбінацію елементів простору

Якщо всі , то такі елементи будуть лінійно незалежними. Якщо хоча б одне з чисел , елементи простору будуть лінійно залежними.

Підставимо значення х=-π, х=0, х=π та вирішимо систему рівнянь.

Отже оскільки тоді система функцій 1/2, cos(πt/l), sin(πt/l) є лінійно залежною.

7. Довести, що сукупність k-вимірних дійсних векторів утворюють лінійний простір.

Якщо сукупність Еk k-вимірних дійсних векторів утворюють лінійний простір, то:

Подамо три вектори x,y,z у вигляді:

При звичайному описі, наприклад, вектора х маємо:

Тоді ясно, що і . В цій множині є нульовий вектор, а також протилежний вектор. Таким чином Еk дійсно є лінійним або векторним простором.

Висновки

В цій лабораторній роботі отримано основні навички при роботі з лінійними просторами, також було на прикладах перевірено чи є деякі простори лінійними.