Розв’язок типових завдань

Завдання 6.16

Необхідно:

– за даними таблиці 6.13 визначити середній час очікування тролейбусів за даними результатів одноразового вибіркового опитування робітників і службовців одного з обласних центрів.

Дані для виконання:

Таблиця 6.13. Дані вибіркового опитування робітників і службовців щодо часу очікування тролейбусів

Середній час очікування, хв.	До 4	5–9	10–14	15–19	20 і більше	Разом
Чисельність опитаних, % до підсумку	10	30	25	20	15	100

Розв’язок. При визначенні середньої з інтервального ряду насамперед слід обчислити середину інтервалу кожної з груп як напівсуму нижньої і верхньої меж інтервалу. Якщо ряд розподілу має відкриті інтервали, то їх розмір приймається умовно рівним інтервалу тієї групи, що розташована поруч. Так, для першої групи це буде інтервал наступної, тобто другої, групи, а для останньої – інтервал передостанньої групи. Слід зауважити, що за даними ряду розподілу середня обчислюється як арифметична зважена. Роль ваги при визначені середньої в наведеному прикладі відіграють частки опитаних:

= хв.

Отже, середній час очікування тролейбусів становить 12 хв.

Завдання 6.17

Необхідно:

– використовуючи дані таблиці 6.14, що характеризують чисельність студентів, прийнятих до навчальних закладів країни, і тих, які були прийняті на денне відділення, визначити середню частку студентів, прийнятих на денне відділення в базовому і поточному навчальних роках.

Дані для виконання:

Таблиця 6.14. Дані про кількість студентів, прийнятих на денне відділення в базовому і поточному роках

Навчальні заклади	Базовий рік		Поточний рік
	всього прийнято студентів, тис. чол.	частка прийнятих на денне відділення, %	прийнято студентів на денне відділення, тис. чол.	частка прийнятих на денне відділення, %
Вищі	181,7	58,8	113,4	65,3
Системи підготовки молодших фахівців	264,6	62,8	157,4	66,3

Розв’язок. При визначенні середньої частки слід насамперед усвідомити економічний зміст осереднюваного показника, тобто:

Частка студентів, Чисельність студентів, прийнятих на денне відділення

прийнятих на денне = -----------------------------------------------------------------------.

відділення Загальна чисельність прийнятих студентів

Знаменник цього співвідношення відіграє роль ваги при визначенні середньої, щодо базового навчального року, то цей показник відомий, чисельник же наведеного вище співвідношення легко обчислити, помноживши частку студентів, прийнятих на денне відділення, на загальну чисельність прийнятих студентів. Отже, в цьому випадку слід використати формулу середньої арифметичної зваженої

= , або 61,2 %.

Середня частка студентів, прийнятих на денне відділення в базовому навчальному році, становила 61,2%.

Даних про загальну чисельність прийнятих студентів у поточному році немає, але цей показник можна визначити, поділивши чисельність студентів, зарахованих на денне відділення, на частку їх у загальній кількості прийнятих. Виходячи з цього, для обчислення середньої частки студентів денного відділення треба використати формулу середньої гармонійної зваженої, тобто

=, або 65,9 %.

Завдання 6.18

Необхідно:

– за даними таблиці 6.15 визначити модальний та медіанний вік чоловіків-одинаків за даними перепису населення України.

Дані для виконання:

Таблиця 6.15. Дані про групування чоловіків-одинаків за віком

Вік х, років	до 20	20–29	30–39	40–49	50–59	60–69	70 і старше	Разом
Частка вікової групи w, %	4,9	20,1	15,5	15,2	17,0	13,0	14,3	100,0

Розв’язок. Модальний вік розраховують за формулою

,

де X_Mo – нижня межа; h_Mo – ширина модального інтервалу;

f_Mo, f_Mo-1, f_Mo+1 – відповідна частота (частка) модального, попереднього і наступного інтервалів відносно модального. Модальний віковий інтервал становить від 20 до 29 років, оскільки йому відповідає найбільша частота (f_Mo = 20,1):

,

тобто найбільш поширеним віком серед чоловіків-одинаків є вік близько 27 років.

Медіанний вік визначають за формулою

,

де X_Me, h_Me – відповідно нижня межа і ширина медіального інтервалу;

S_Me-1 – сума накопичених частот (часток) в інтервалі, що передує медіанному; f_Me – частота (частка) медіанного інтервалу.

Порядковий номер центральної варіанти відповідає частці 50. У графі накопичених частот ця варіанта знаходиться в групі 40 – 49 років. Отже,

.

Половина чоловіків-одинаків перебуває у віці до 45,6 років, а інша – старші 45,6 років.

Завдання 6.19

Необхідно:

– визначити розмах варіації і коефіцієнт осциляції; середнє лінійне відхилення і лінійний коефіцієнт варіації.

Дані для виконання:

Вік робітників однієї бригади будівельників становить 28, 30, 31, 46, 47, 48, 50 років.

Розв’язок. Розмах варіації – це різниця між максимальним і мінімальним значенням ознаки, тобто

R = x_max – x_min = 50 – 28 = 22.

Відношення розмаху варіації до середньої величини ознаки називають коефіцієнтом осциляції, який обчислюють за формулою

.

Оскільки дані незгруповані, середню величину обчислюють за формулою середньої арифметичної простої

,

тоді

.

Середнє лінійне відхилення – це середній модуль відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини

d =

Лінійний коефіцієнт варіації визначають за формулою

,

що свідчить про незначну варіацію робітників бригади будівельників щодо їх віку.

Завдання 6.20

Необхідно:

– за даними розподілу вантажних автомобілів одного підприємства за строком експлуатації (таблиця 6.16) обчислити: дисперсію строку експлуатації вантажних автомобілів; середнє квадратичне відхилення і квадратичний коефіцієнт варіації; дисперсію частки вантажних автомобілів зі строком експлуатації менше як 8 років.

Дані для виконання:

Таблиця 6.16. Розрахункова таблиця для обчислення показників варіації

Строк перебування вантажних автомобілів в експлуатації, років	Кількість автомо-білів	Середина інтервалу, х	xf	_ x – x	_ (x – x)2	_ (x – x)2f	x2	x2 f
До 4	6	2	12	-7	49	294	4	24
4 – 6	10	5	50	-4	16	160	25	250
6 – 8	70	7	490	-2	4	280	49	3430
8 – 10	47	9	423	0	0	0	81	3807
10 –12	35	11	385	2	4	140	121	4235
12 –14	20	13	260	4	16	320	169	3380
14 і більше	12	15	180	6	36	432	225	2700
Разом	200	-	1800	-	-	1626	-	17826

Розв’язок. Дисперсія – це середній квадрат відхилень від середньої:

.

В рядах розподілу середню обчислюють за формулою середньої арифметичної зваженої

;

.

Дисперсію можна визначити також за формулою різниці квадратів

,

де – середній квадрат значень варіант.

Необхідні для обчислення дані наведені в таблиці.

Отже,



Середнє квадратичне відхилення – це корінь квадратний з дисперсії

 = √=.

Відношення середнього квадратичного відхилення до середньої називають квадратичним коефіцієнтом варіації. Його обчислюють за формулою

U = ( /)100% =,

що свідчить про однорідність сукупності автомобілів щодо строкуперебування їх в експлуатації.

Частка автомобілів, у яких строк перебування в експлуатації менш як 8 років становить

v = .

Дисперсію частки як альтернативної ознаки визначають за формулою

p (1 – p), тобто 0,43 (1 – 0,43) = 0,245.

Завдання 7.1

Необхідно:

• дати повну і змістовну відповідь на наступні питання.

Дані для виконання:

1. Види зв’язків між соціально-економічними явищами. Завдання і прийоми вивчення зв’язків

2. Знаходження рівнянь регресії

3. Вимірювання щільності зв’язку

4. Непараметричні методи вивчення зв’язків

Завдання 7.2

Необхідно:

– визначити, яка з наведених нижче корельованих пар ознак є факторною, а яка – результативною:

Дані для виконання:

1. Потужність електростанції, виробництво електроенергії.

2. Споживчі ціни, купівельна спроможність грошової одиниці.

3. Безробіття, рівень злочинності.

4. Продуктивність праці робітника-верстатника, вік виробничого обладнання.

5. Торгова площа магазинів, товарооборот.

6. Оборот біржі, кількість брокерських місць.

7. Фізичний знос обладнання, коефіцієнт змінності роботи підприємства.

Завдання 7.3

Необхідно:

– визначити, які з наведених залежностей соціально-економічних явищ є функціональними, а які – кореляційними:

Дані для виконання:

1. витрати сімей на продукти харчування – від числа членів сім’ї;

2. загальний капітал акціонерної компанії – від кількості випущених компанією акцій та їх ринкової ціни;

3. тривалість життя населення регіону – від стану екологічного середовища;

4. собівартість продукції – від обсягу виробництва і виробничих витрат;

5. введення в дію житла – від капітальних вкладень у житлове будівництво;

6. плата за кредит – від розміру позики і процента за користування кредитом;

7. попит на товари народного споживання – від наявності їх на ринку і цін.

Завдання 7.4

Необхідно:

– за даними таблиці 7.1 обчислити: 1) міжгрупову дисперсію продуктивності верстатів; 2) за допомогою кореляційного відношення оцінити тісноту зв’язку між виробітком деталей за зміну і строком служби верстатів; 3) використовуючи F- критерій, перевірити істотність зв’язку з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Загальна дисперсія продуктивності верстатів за зміну становить 292.

Таблиця 7.1. Дані про групування верстатів за строком служби

Строк служби верстатів, років	Кількість верстатів	Виробіток деталей за зміну в розрахунку на 1 верстат, шт.
До 7	10	110
7 – 14	15	96
14 – 20	25	70
20 і більше	12	66
Разом	62	82

Завдання 7.5

Необхідно:

– за даними табл. 7.2: 1) обчислити міжгрупову, середню з групових та загальну дисперсії виробітку одного автомобіля, показати їх взаємозв’язок; 2) для оцінки тісноти зв’язку між виробітком автомобіля та його технічною швидкістю використати кореляційне відношення, пояснити його економічний зміст; 3) за допомогою F-критерію перевірити істотність зв’язку. Зробити висновки з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця 7.2. Залежність виробітку вантажного автомобіля від технічної швидкості

Середня технічна швидкість автомобіля, км/год.	Кількість автотранспортних підприємств	Середній виробіток на 1 машино-год, т-км	Дисперсія середнього виробітку
1	2	3	4
До 30	11	70	9
1	2	3	4
30 – 40	14	80	74
40 – 50	17	90	207
50 і більше	8	100	64
Разом	50	84	-

Завдання 7.6

Необхідно:

– 1) визначити функцію, яка відображає залежність якості сировини від дальності перевезень; 2) обчислити параметри регресійного рівняння. Пояснити їхній економічний зміст; 3) за допомогою коефіцієнта детермінації оцінити тісноту зв’язку між названими показниками; 4) перевірити істотність зв’язку, користуючись F-критерієм, з імовірністю 0,95. Зробити висновки.

Дані для виконання:

Консервний комбінат здійснює заготівлю сировини в радіусі до 200 км (таблиця 7.3).

Таблиця 7.3 Залежність якості заготовленої сировини від відстань перевезення

Радіус перевезення, км	Частка нестандартної сировини, %	Радіус перевезення, км	Частка нестандартної сировини, %
110	25	141	27
47	14	97	23
80	20	72	19
134	30	185	34
116	24	120	26
150	32	56	18
93	21	38	12
64	18	170	32
127	22	86	20
145	26	69	17

Завдання 7.7

Необхідно:

– за даними таблиці 7.4 оцінити тісноту зв’язку між наведеними за допомогою коефіцієнту асоціації; перевірити його істотність з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця 7.4. Дані про стосунки 280 молодих сімей з батьками

Молоді сім’ї, що проживають	Число молодих сімей, яким
	допомагають батьки	не допомагають батьки	Разом
З батьками	150	40	190
Окремо	30	60	90
Разом	180	100	280

Завдання 7.8

Необхідно:

• за даними таблиці 7.5 проаналізувати комбінаційний розподіл робітників та оцінити тісноту зв’язку між професійною мобільністю і задоволеністю працею за допомогою коефіцієнта співзалежності Чупрова; перевірити істотність зв’язку, використовуючи критерій . Висновки зробити з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця 7.5. Дані соціологічного опитування молодих робітників

Чи задоволені професією	Чи маєте намір змінити професію			Разом
	так, найближчим часом	так, в перспективі	ні
Задоволений	-	20	26	46
Ставлюсь байдуже	7	18	9	34
Незадоволений	15	5	-	20
Разом	22	43	35	100

Завдання 7.9

Необхідно:

– за даними таблиці 7.6 оцінити тісноту зв’язку між технічним і організаційним рівнями виробництва за допомогою коефіцієнта рангової кореляції; перевірити істотність зв’язків з імовірністю 0,95.

Дані для виконання:

Таблиця 7.6. Дані експертних бальних оцінок технічного і організаційного рівня виробництва груп промислових підприємств

Номер підприємства	Рівень
	технічний	організаційний
1	27	26
2	30	23
3	25	25
4	42	31
5	54	30
6	47	28
7	38	34
8	56	38
9	60	35
10	33	21