Билеты по логике / Билет №5 к зачёту по логике

Определение(дефиниция) – это логическая процедура, состоящая в придании строго фиксированного смысла языковым выражениям (терминам языка).

Виды определений:

• Явные. Явными определениями называются определения, задаваемые конструкцией вида: A[t] ↔ В. Каждая такая конструкция содержит четыре части: А[t] – определяемая часть, В – определяющая часть, ↔ указывает на что что выражение А[t] означает тоже самое что и выражение В. Кроме того в выражении А[t] всегда присутствует некий термин t, который является целью построения всего определения. Таким образом в явных определениях определяемым термином является та часть определяемого выражения А[t], которая не встречается в определяющей части В. (напр. «барометр — это прибор для измерения атмосферного давления»)

Явные определения могут подразделяться на несколько видов. Для этого используются различные синтаксические и семантические характеристики определений:

1. Определения, зависимые от синтаксической структуры:

Определение имени. Если А[t] – это имя некоторого предмета k. Но при этом k может быть не только именем индивида, но и именем любого другого предмета – именем свойства, отношения и тд. Имеет вид: k=Df tαB(a). Читается как k равно по дефиниции тому единственному α, для которого верно В(а), а t – оператор позволяющий построить имя того единственного предмета. (пример: А.С. Пушкин – это автор «Евгения Онегина»)

Определение универсалии (общие понятия). Имеют вид: αП(α)=Df αB (α), где αП(α) – определяемая часть, которая является языковым выражением простого понятия, причем понятия о чем угодно, а определяемая часть αB (α) – языковое выражение сложного понятия. (пример: Дед – отец и родитель)

Определение высказывательной формы. Имеют вид: П(α)=Df B (α). В этом случае определяемым термином является предикатор П и посредством такого рода определения раскрывается смысл П(α).

Определение функционального выражения. Имеет вид: Ф(α)= Df Σ(α), в котором Ф(α) – простое функциональное выражение, а Σ(α) – сложное функциональное выражение. (примерами являются сложные математические формулы и функции).

2. Определения, зависимые от того, каким образом в определяющей части охарактеризованы предметы, задаваемые определением:

Генетические определения. В них в определяющей части В указывается на способ образования предметов. Пример: Окружности есть по определению замкнутая линия, образованная вращением радиуса определенной длины вокруг неподвижной точки в некоторой плоскости.

Целевое определение. В них в определяющей части В указывается на то, какие функции может выполнять данный предмет. Пример: Транспорт – средство для перевозки на некоторые расстояния людей и грузов.

Квалифицирующие определения. В определяющей части В показаны структурные особенности предмета. Пример: Ромб есть по определению четырехугольник с равными сторонами.

Перечислительные определения. В определяющей части В просто перечислены предметы, попадающие под определяемый термин. Пример: В одной неделе 7 дней: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

Операционные определения. В данном виде определения определяющая и определяемая части равны когда выполнена некая проверочная процедура С, осуществляя которую мы доказываем верность термина. Пример: Кислота есть по определению жидкость, которая окрашивает лакмусовую бумажку в красный цвет.

Определение по частям. В этих определениях А[t] приравнивается В₁ если выполнено условие С₁; приравнивается В₂ если выполнено условие С₂. При этом условия должны быть исчерпывающими и попрано совместимыми. Пример: х÷у.

Определение через гипостазирование. С их помощью раскрывается содержание имен собственных для свойств, отношений и функций, таких как «теплопроводность», «краснота», «белизна» и т.д. Пример: Красивая лошадь это лошадь, у которой длинная грива, пышный хвост и т.д.(описываются качества красивости лошади).

Определение через абстракцию. Так называются определения, в которых определяющая часть фиксирует еще одну важную интеллектуальную процедуру (проще говоря, некоторые предметы ведут себя одинаковым образом в определенных ситуациях и являются неразличимыми, тождественными друг другу).

• Неявные. Это определения, задаваемые конструкцией типа: t есть по дефиниции то, что удовлетворяет условиям: В₁,В₂,…,В_n.

Виды неявных определений:

1.Индуктивные определения. И.о. - определение, позволяющее из некоторых исходных объектов теории с помощью некоторых операций строить новые объекты теории. Пример: Натуральное число по дефиниции есть то, что удовлетворяет следующим условиям: 1. Ноль есть натуральное число. 2. Если n – натуральное число, то и n^, тоже. 3. Ничто иное не есть не натуральное число.

2. Рекурсивные определения. Р.о. - метод определения арифметической функции φ(у) или пре­диката Р(у) через область значений этой функции или предиката. Пример - определение функции сложения: а + 0 = а, (1) а + b'=(а+b)'. Основная особенность – понимание некоторых функций состоит в знании ее значений для определенных значений аргументов.(проще говоря, надо доказать что именно приведенные формулы являются определением функции сложения).

3.Аксиоматические определения. А.о. – определения понятий с помощью аксиом. Аксиомы — это утверждения, принимаемые без доказательства. Совокупность аксиом какой-то теории является одновременно и свернутой формулировкой этой теории, и тем контекстом, который неявно определяет все входящие в нее понятия. Пример: Сила равна массе, умноженной на ускорение.

• Иные виды определений:

1.Определения через контекст - это определения, в которых определяющая часть В является совокупностью контекстов, в которых встречается определяемый термин. Примеры определений: «точка», «прямая», «плоскость» посредством аксиом Евклидовой геометрии.

2.Реальные определения. Определения, решающие задачу описания каких-то объектов, принято называть реальными. Задаются конструкциями A[t] ↔ В и A[t] есть В. Пример: Человек есть двуногое и бесперое.

3.Номинальное определение. Определения, выражающие требование, какими должны быть объекты, называются номинальными.

4.Родовидовые определения. Родовидовые определения – определения, указывающие на род и видовое отличие. К такому роду определений относятся почти все определения, так как почти любая дефиниция содержит некоторые переменные, принадлежащие какому-либо универсуму (универсум – множество объектов, рассматриваемых в пре­делах отдельного рассуждения, научной теории ). К родовидовым НЕ относятся фундаментальные индуктивные определения. Пример фундаментального определения – пример определения натурального числа.

Привила и возможные ошибки в определениях.

Правило 1. Определение должно быть соразмерным, т.е. значения (объемы) определяемого и определяющего выражений должны совпадать (должны быть равны друг другу).

Этому правилу соответствуют ошибки:

а) " Слишком широкое определение". Дефиниенс шире дефиниендума по объему. ПРИМЕРЫ: "Спекуляция есть скупка и перепродажа товаров или иных предметов"; "Человек есть двуногое бесперое животное".

б) "Слишком узкое определение". При этой ошибке объем дефиниенса меньше объема дефиниендума. ПРИМЕРЫ: "Смерть — естественный конец всякого живого существа" (а неестественный?); "Совесть — это осознание человеком ответственности перед самим собой за свои поступки" (а перед обществом?)

в) "Перекрещивающееся определение". Объемы А и В находятся в отношении перекрещивания. ПРИМЕР: "Философ — это человек, разрабатывающий научную методологию".

Правило 2. Определение не должно заключать в себе круга. При нарушении данного правила возникает ошибка, имеющая название "круг в определении". Суть этой ошибки в следующем: термин В, посредством которого определяется термин А, сам определяется через этот же термин А.

Ошибка – тавтология. ПРИМЕРЫ: "Количество — характеристика предметов с количественной стороны"; "Математика — это то, чем занимаются математики"; "Логика — наука о правильном мышлении"; "Правильное мышление — логичное мышление".

Правило 3. Определение должно быть ясным, т.е. должны быть известны смыслы или значения терминов, входящих в В, в частности В не должен содержать выражений, в свою очередь требующих определения.

При нарушении этого правила возникает ошибка "неясное определение". ПРИМЕРЫ: "Красота есть индивидуально неповторимое выражение родового"; "Профессиональная этика советского офицера есть проявление общего в особенном"; Повторение — мать учения"; "Лев — царь зверей" .

Правило 4. Нельзя принимать номинальные определения за реальные. Как уже отмечалось, утверждения, выражающие номинальные определения, не должны оцениваться как истинные или ложные. Истолковывая номинальные определения в качестве реальных, к ним добавляют новую, не содержащуюся в них информацию. Этой информацией может быть утверждение о существовании предметов, обозначаемых А. В результате такого истолкования могут быть получены ложные утверждения, поскольку А номинального определения необязательно является непустым термином.

ПРИМЕР: Пусть имеется номинальное определение: "Бог — это совершенное существо". Другое номинальное определение: "Совершенное существо то, которое обладает всеми свойствами объективно существующего предмета, а также свойствами всеведения, всемогущества и т.д.". Можно ли, приняв эти определения за посылки, сделать вывод о том, что Бог существует? Это возможно в одном случае — при истолковании указанных определений в качестве реальных. Если эти посылки окажутся истинными суждениями, то и заключение будет истинным. Но поскольку определения являются номинальными, их нельзя считать ни истинными, ни ложными и нельзя сделать указанного вывода. Допустив истинность посылок при истолковании номинальных определений в качестве реальных, допускают существование Бога. Из допущения существования бога делается вывод о том, что Бог существует. Таким образом, этим рассуждением доказывают не существование Бога, а доказывают суждение: "Если Бог существует, то он существует".