Билеты по логике / Билет №4 к зачёту по логике

Понятие. Понятие как форма мышления.

Понятие – мысль, которая посредством указания на некоторый признак выделяет из универсума и собирает в класс (обобщает) предметы, обладающие этим признаком.

Таким образом, понятие является связью между предметом и термином.

Только благодаря понятию мы можем установить, что именно этот термин соответствует какому-либо предмету из универсума.

Например:

Есть мысль «замкнутая геометрическая фигура, ограниченная тремя сторонами». Эта мысль и есть понятие. Мысленно мы собираем из всего универсума замкнутые геометрические фигуры, ограниченные тремя сторонами. Работает только наше мышление. Благодаря этому мы отличаем их от всех остальных геометрических фигур. Эту мысль (понятие) можно связать с термином «треугольник». Можно сказать, что наша мысль является понятием треугольника. Мы поняли термин «треугольник».

И естественно, что с каждым термином может быть связано ни одно и не два понятия. Представьте, сколько признаков у человека. Столько же будет и понятий.

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОНЯТИЯ: СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМ

Содержанием понятия < a1, а2, …, an>A(a1, a2, …, an) называется признак А (а1, а2, …, аn), на основании которого обобщаются и выделяются предметы из универсума.

Объемом понятия < a1, а2, …, an>A(a1, a2, …, an) называется класс всех тех упорядоченных n-ок предметов < a1, а2, …, an> из универсума U1xU2x…xUn, которые обладают видовым признаком A(a1, a2, …, an).

Иначе говоря, чтобы было ясно. Каждое понятие состоит из объема и содержания. Понятие обозначается вот так: < a1, а2, …, an>A(a1, a2, …, an). Объем - W< a1, а2, …, an>A(a1, a2, …, an). Содержание - A(a1, a2, …, an).

Виды понятий.

Простые и сложные

К простым относятся те понятия, содержание которых выражается элементарными формулами логики предикатов. Это формулы вида П(a1, a2, …, an). П- n-местная предикаторная константа.

В виде формул это записывается так (это нужно запомнить):

xЧеловек(х) – «х из класса животных такой, что х является человеком»

хТреугольник(х) – «х из класса геометрических фигур такой, что х – треугольник»

К сложным относятся те понятия, содержание которых выражается сложными формулами логики предикатов, формулы вида A(a1, a2, …, an), в состав которых входят логические константы.

Эти формулы тоже надо запомнить.

1. xƎy(Орудие труда(y) & Способен сделать (x, y)) – «животное, способное производить орудия труда»

2. x(Замкнута(х) & число сторон(х) = 3) – « геометрическая фигура, замкнутая тремя сторонами»

Понятия по объему

Пустые понятия – понятия, в объеме которых нет элементов.

Непустые понятия – понятия, в объеме которых содержится хотя бы 1 элемент.

Например, понятие «человек, побывавший на Марсе» является пустым, потому что пока нет людей, которые посетили Марс. Также пустое понятие «нынешний царь России», потому что у нас сейчас нет царя, у нас президент.

В логике пустые понятия обозначаются так: W< a1, а2, …, an>A(a1, a2, …, an) = Ø. W< a1, а2, …, an>A(a1, a2, …, an) – объем. Ø – значок пустого множества.

Непустые понятия делятся на единичные и общие.

Единичные – те понятия, в объеме которых содержится четко 1 элемент. Например: понятие «древнегреческий философ, выпивший по решению афинского суда яд цикуты» единичное, потому что существует только 1 такой философ, догадайтесь, кто же это. Понятие «автор романа «Евгений Онегин»» тоже единичное.

Общие понятия – те понятия, в объеме которых больше чем 1 элемент.

Это, например: понятие «востоковеды, учащиеся на 1 курсе ГАУГН в 2012 году» или понятие «люди, которые умеют играть на гитаре».

Еще есть особые универсальные понятия. Объемы этих понятий совпадают с универсумом понятия. То есть в данном случае универсум = объем понятия.

Например: понятие « квадрат, у которого все стороны равны» универсальное. Оно относится к универсуму квадратов. А в квадрате и так все стороны равны. То есть в данном случае, универсум квадратов = понятие. Надеюсь, понятно.

Понятия по содержанию

Положительные понятия – понятия, в содержании которых A(a1, a2, …, an) нет знаков логического отрицания, обозначается кочергой « ̚ ». Только побольше в размерах.

Отрицательные понятие – те, в содержание которых используют логические знаки отрицания.

ОПЕРАЦИИ С ПОНЯТИЯМИ

Пересечение

Возьмем два понятия αА(α) и αВ(α). Род у этих понятий одинаковый. И возьмем объемы этих понятий WαА(α) и WαВ(α). Для удобства вместо А и В подставим конкретные примеры: «хУчащийся(х)» и «хСпортсмен(х)». Как уже оговорено, род у них общий – люди. Напомню, что читается оно так: «х из рода людей такой, что х – учащийся» и « х из рода людей такой, что х – спортсмен.

Пересечь два множества (объемы понятий) – значит образовать объем нового понятия, элементами которого будут предметы, которые обладают признаком A(α) и B(α).

WαA(α) ∩ WαB(α) = Df Wα(A(α) & B(α))

Эта запись обозначает, что два объема пересеклись, образовав новый, куда вошли признаки обоих.

Объединение

Объединить объемы понятий – значит образовать объем нового понятия, элементами которого будут предметы, которые обладают признаком A(α) или B(α).

WαA(α) ᴗ WαB(α) = Df Wα(A(α) ˅ B(α))

Эта запись обозначает, что два объема пересеклись, образовав новый, куда вошли признаки или одного или другого.

Вычитание объема понятия αB(α) из объема понятия αА(α) будет объем нового понятия, элементами которого будут только те предметы, которые обладают признаком A(α) и не обладают признаком B(α).

WαA(α) \ WαB(α) = Df Wα(A(α) & ¬B(α))

\ - означает вычитание, как вы догадались. ¬(кочерга) – логическое отрицание.

Симметрической разностью объемов понятий αA(α) и αB(α) называется объем нового понятия, элементами которого будут только те предметы, которые обладают либо признаком A(α), либо признаком B(α).

WαA(α) ᴗ(под значком черточка) WαB(α) = Df Wα(A(α) ˅(под значком черточка) B(α))

Еще одна операция – операция дополнения.

Взять дополнение объема понятия αA(α) – значит образовать в универсуме объем нового понятия, элементами которого будут только те элементы универсума, которые не обладают признаком A(α).

WαA(α)`= Df Wα¬A(α)

` - значок дополнения. Эта запись обозначает, что объем понятия дополнения есть объем понятия предметов, которые не обладают признаком A(α).

Операция классификации

Классификация – результат последовательного деления некоторого понятия на его виды, виды на подвиды, подвиды еще на какую-нибудь хрень.

Д

К

ля наглядности любую классификацию можно представить в виде дерева. Оно выглядит как множество точек, соединенных линиями. Точки – таксоны(таксономические единицы), линии – ребра.

K – к

K1

K2

Kn

Km

Kz

Ki

… … … … … … … …

орень дерева. Дальше путем деления, у нас образовалась пара таксонов, которые тоже можно разделить и так далее. Каждый такой этаж с таксонами называется ярусом.

Различают два вида классификаций.

Естественные – те, в которых за основание берутся существенные характеристики.

Искусственные – те, где в качестве оснований берутся несущественные характеристики.

Отношения между понятиями и круговые схемы для выражения отношений между понятиями.

Насколько я понял, отношения и операции, есть одно и то же. Плюс, здесь пойдет о некоторых других операциях между понятиями. Но сначала круговые схемы или круги Эйлера.

Тут вот на двух кругах представлен род людей, но круг А – учащиеся, а круг В – спортсмены. Как вы помните, операция пересечения образует новый объем, куда включены признаки двух других объемов. У нас этот новый объем представлен закрашенной областью. В этот объем входят люди-спортсмены и люди-учащиеся.

В объединении у нас представлен новый объем, где люди должны обладать или признаком спортсмена или признаком учащегося, или же и тем и другим. У нас этот объем представлен всеми двумя кругами полностью.

В вычитании у нас образуется понятие нового объема, куда включено только свойство А и не включено свойство В. То есть люди, которые только учащиеся. Спортсмены в объем не включены и учащиеся-спортсмены не включены тоже. Этот объем закрашен розовым цветом.

Симметрическая разность образует объем понятия, куда входят либо учащиеся, либо спортсмены, учащиеся-спортсмены идут боком. Этот объем закрашен бежевым.

В дополнении образуется объем, куда входят элементы, которые не обладают свойством учащегося. Абсолютно все предметы, кроме учащихся. Это область закрашена голубеньким.

Другие отношения

Равнообъемность

Понятия αА(α) и αВ(α) совместимы и включены друг в друга. Равнообъемность записывается А=В.

Подчинение

Понятие А включено в В. То есть оно подчиняется В. Но неверно, что В включено в А.

В данном случае понятие B включено в A. B подчиняется A.