10.7. Оценка статистической надежности уравнения регрессии и ее параметров

Третья задача теории корреляции состоит в оценке статистической надёжности полученных результатов.

Одна из основных наиболее общих гипотез выдвигаемых в случае применения теории корреляции - гипотеза выборочного характера соответствующих статистических или экспериментальных данных.

Например, при использовании динамического ряда данных эта гипотеза означает, что исследуемый динамический ряд представляет собой только один из возможных отрезков некоторого бесконечного динамического ряда.

В анализе хозяйственной деятельности предприятий соответствующая экономико-статистическая модель строиться только по части предприятий определённой отрасли, наиболее однородной с точки зрения основных экономических показателей, а предназначается модель для оценки уровня потенциальных возможностей всех предприятий отрасли. Однако сама модель находится путём эмпирического подбора данных возможных моделей с последующей оценкой их адекватности истинному характеру исследуемых зависимостей. Выборочный характер как самих статистических данных, так и принятой для их анализа многофакторной корреляционной модели, требуют вероятностной оценки полученных результатов, так как отношение и показатели, установленные посредством данной модели, по данной выборке, могут быть только приближённой характеристикой истинных отношений и параметров, действительно существующих в соответствующей генеральной совокупности.

Значимость выборочных статистических показателей устанавливается путём испытания так называемой «нулевой гипотезы», то есть вероятностной оценки совместимости фактической величины того или иного показателя, полученного по данной модели в данной выборке, с гипотезой о равенстве его нулю в генеральной совокупности.

Если фактическое значение рассматриваемого показателя и соответствующего ему t-критерия Стьюдента превышают границы, выход за которые, при условии справедливости нулевой гипотезы, весьма маловероятен, то нулевая гипотеза отклоняется. Если фактическое значение не достигает указанной границы, то нулевая гипотеза принимается.

При испытаниях этой гипотезы в экономических расчётах принимают, как правило, 95%, реже 99%-ный уровень доверия, которому соответствует 5 и 1%-ный уровень значимости, то есть вероятности ошибки.

Проверка значимости уравнения регрессии в целом, его адекватность истинному отношению зависимости, гипотетически существующему в генеральной совокупности, осуществляется путём сравнения фактического (расчетного) значения F- критерия Фишера с табличным:

где - общая дисперсия зависимой переменной;

- остаточная дисперсия, скорректированная на

число степеней свободы.

Критическое значение F-критерия Фишера находится по таблице для заданного уровня значимости и степеней свободы ν₁ = n –1; ν₂ = n – p – 1.

При этом проверяется гипотеза о том, что выравнивание по построенному уравнению регрессии равнозначно выравниванию по уравнению:y = y , т. е. по существу проверяется гипотеза об одновременном равенстве 0 («нулевая гипотеза») всех (кроме a₀) коэффициентов «истинного» уравнения регрессии, то есть гипотетически существующего в генеральной совокупности.

Наряду с оценкой значимости всего уравнения регрессии в целом оценивается также существенность каждого из его коэффициентов в отдельности. При достаточно большом значении n эта оценка производится путем вычисления значения:

j = 0,1,2,…,p

a_j –эмпирическое значение коэффициента регрессии;

α_j – теоретическое значение коэффициента регрессии;

_aj – среднеквадратическая ошибка коэффициента.

Испытывается «нулевая гипотеза» в отношении коэффициента a_j , гипотеза о равенстве его нулю в генеральной совокупности. В этих условиях величина t_{a j} имеет t – распределение Стьюдента с n-(p+1) степенями свободы.

Если t расчётное больше t табличного, то «нулевая гипотеза», в отношении этого коэффициента, отвергается. Табличное (критическое) значение t-критерия Стьюдента находится для заданного уровня значимости и числа степеней свободы ν=n-p-1.

Гипотетическое значение α_j из генеральной совокупности является совместимым с результатами оценивания регрессии, если оно удовлетворяет следующему двойному неравенству:

a_j – σ_aj x t_кр < α_j < a_j + σ_aj x t_кр

Множество всех этих значений, определенных как интервал между нижней и верхней границами неравенства, называется доверительным интервалом для величины αj. Необходимо отметить, что границы интервала зависят от tкр, т.е. от принятого уровня значимости.

Аналогично может быть оценена существенность коэффициентов множественной, парной и частной корреляции.

Если уравнение множественной регрессии используется, в основном, для определения по нему расчётных значений зависимой переменной и других общих оценок, то тогда значимость отдельных его коэффициентов не имеет большого значения, так как случайные ошибки этих коэффициентов взаимопогашаются.

Однако, если наряду с общей оценкой стоит также задача изучения изменений зависимой перемененной (y), происходящих в связи с изменениями каждого отдельного фактора, то тогда надёжность каждого отдельного коэффициента множественной регрессии приобретает реальное значение.

Однако даже в случае значимости, как всего уравнения множественной регрессии в целом, так и каждого из его коэффициентов в отдельности, определенные по этому уравнению расчётные значения зависимой переменной представляют собой только некоторую оценку истинного значения этих величин в генеральной совокупности.

Поэтому для каждого расчётного значения зависимой переменной может определяться так называемый доверительный интервал, внутри которого с той или иной степенью вероятности гарантируется нахождение истинного значения этой величины.