10.5. Определение точности модели

Точность модели характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделированных переменных. Для показателя представленного рядом значений точность определяется как разность между значением фактического уровня ряда и его оценкой полученной расчётным путём с использованием моделей. При этом в качестве статистических показателей точности применяют следующие:

1. Среднее квадратическое отклонение

где i = 1…n ;

y_i - фактическое значение ряда;

- теоретическое значение ряда;

n – количество наблюдений;

p – количество независимых параметров.

2. Средняя относительная ошибка аппроксимации

i = 1…n

3. Коэффициент сходимости

i= 1…n

– среднее значение

3. Коэффициент детерминации

R² = 1 - ²

На основании указанных показателей можно сделать выбор из нескольких адекватных моделей наиболее точную. Хотя может встретиться случай, когда по некоторому показателю более точна одна модель, а по другому – другая модель.

10.6. Исследование влияния факторов на изменение результирующего показателя в уравнении регрессии

Процесс нахождения уравнения регрессии заключается в выборе и обосновании типа соответствующей кривой и расчёте её параметров.

Запас кривых, которыми располагает математический анализ, бесконечно разнообразен. Однако в большинстве практически важных случаев функцию многих переменных логарифмированием или заменой переменных можно свести к уравнению вида:

y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_px_p

Для нахождения параметров данного уравнения a₀, a₁, …a_p используется обычно метод наименьших квадратов.

Таким образом, находится такая кривая, которая лучше всех других кривых данного класса выражает реально существующие отношения между экономическими показателями. Полного соответствия ожидать нельзя, так как корреляционной формулой учитывается влияние на результирующий признак не всех, а лишь основных факторов. Действие остальных неучтённых факторов и вызывает разброс фактических значений вокруг расчётных. Доказано, что, повышая порядок уравнения чуть ли не до числа имеющихся наблюдений можно подобрать кривую соответствующую любому статистическому материалу. Однако практическая ценность такой кривой – ничтожна, так как она передаёт уже не закономерность развития, проявляющуюся на фоне случайных колебаний, а сами эти случайные колебания. Теоретически найденное уравнение является уравнением вида:

где значения являются оценками истинных значений. Используя найденное уравнение можно определить расчётные значения результирующего признака , отклонение этого признака от эмпирических значений, сумму квадратов этих отклонений, остаточную дисперсию и так далее.

Нахождением вышеприведенного уравнения решается основная задача теории корреляции. Она заключается в том, чтобы выяснить на основе наблюдения над большим количеством данных, как в среднем изменится функция в связи с изменением части своих аргументов, то есть факторов, включённых в модель при условии, что все остальные аргументы данной функции, не включённые в рассматриваемую модель, не изменятся и находятся на одном и том же среднем уровне.

Вторая основная задача теории корреляции заключается в определении силы, с которой найденная зависимость проявляется среди многообразных, нарушающих её, воздействий, то есть в определении степени как совокупного влияния на исследуемый показатель всех включённых в модель факторов, так и влияние их в отдельности. Эта задача решается вычислением коэффициентов множественной и частной корреляции. Вычисление коэффициентов корреляции основано на так называемом законе сложения дисперсии, в соответствии, с которым для функций, линейно зависящих от параметров, имеется следующее равенство:

где - общая дисперсия зависимой переменной характеризующая общее влияние всех факторов как включенных в рассматриваемую модель, так и не включённых в неё;

где - дисперсия теоретических значений зависимой переменной, характеризующая влияние на неё только отобранных факторов.

где - остаточная дисперсия, то есть дисперсия эмпирических значений зависимой переменной вдоль теоретической поверхности регрессии, характеризующая влияние на зависимую переменную прочих неучтённых факторов, то есть факторов, не включённых в модель.

Отношение дисперсии теоретических значений к общей дисперсии называется коэффициентом множественной детерминации.

Всилу закона сложения дисперсии: 0 <=R² <=1

Коэффициент множественной детерминации имеет следующий смысл.

Он характеризует ту часть или долю вариации зависимой переменной, которая обусловлена влиянием на неё отобранных, то есть включённых в модель факторов.

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется коэффициентом множественной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции служит основным показателем тесноты линейной корреляционной связи. Также как коэффициент детерминации он изменяется от 0 до 1.

Если R=1, то связь между y с одной стороны и аргументами x₁, x₂… с другой стороны является функциональной и линейной.

Если R=0, то отсутствует линейная корреляционная связь, что не исключает, однако наличие в этом случае нелинейной зависимости.

Во всех остальных случаях, то есть 0<R<1, считается, что между y и x₁, x₂… имеется более или менее сильная корреляционная зависимость.

Для функции не линейно зависящей от параметров закон сложения дисперсии не соблюдается.

Наряду с коэффициентом множественной корреляции существует целый ряд различных показателей, характеризующих степень влияния на Y каждого из рассматриваемых факторов в отдельности. В качестве такого показателя может быть использован коэффициент парной корреляции, который может быть определён по формуле:

где

Коэффициент парной корреляции характеризует тесноту связи функции y с аргументом x_i, при условии, что прочие, не включённые в уравнение регрессии аргументы этой функции действуют корреляционно независимо от аргумента x_i. Подобно коэффициенту множественной корреляции R коэффициент парной корреляции r представляет собой безразмерный показатель.

На величине коэффициентов парной корреляции сказывается влияние корреляционно связанных с ними прочих факторов, и чем теснее эта связь, тем сильнее искажающее влияние этих не включённых в модель факторов.

Полное решение этой важной в практических приложениях проблемы дают так называемые коэффициенты частной корреляции, наилучшим образом характеризующие силу индивидуального влияния каждого включённого в уравнение регрессии фактора.

В отличие от коэффициентов парной корреляции коэффициент частной корреляции измеряет силу связи функции y с одним из её аргументов x_i при условии, что остальные включённые в уравнение регрессии факторы находятся на постоянном уровне и не оказывают искажающего влияния на связи y с x_i .

Коэффициент частной корреляции удобнее всего вычислять по формуле:

где

для y_i = a₀ +a₁x₁ +…+a_px_p (фактор x_j исключен), т.е. остаточная сумма квадратов отклонений уравнения регрессии без учёта фактора x_j:

Остаточная сумма квадратов отклонений для уравнения регрессии с учётом фактораx_j:

Формула особенно отчётливо показывает статистический смысл коэффициента частной корреляции как измерителя степени, в которой часть вариации зависимой переменной y не объяснённая другими независимыми факторами x₁, x₂… может быть объяснена добавлением нового фактора x_j.

В практических приложениях также удобно использовать так называемые коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:

В линейном случае частная производная будет равна:

Всилу экономического смысла частных производных коэффициенты эластичности выражают среднюю скорость изменения функции по каждому из её аргументов, то есть показывают, на сколько процентов в среднем изменятся функция с изменением соответствующего аргумента на 1% при фиксированном уровне других аргументов.

Таким образом, нами рассмотрены две основные задачи теории корреляции, заключающиеся в нахождении формы и силы корреляционной связи функциями отобранной для рассмотрения факторами-аргументами.