5. Модуль дійсного числа та його властивості

Модулем дійсного числа а (абсолютною величиною числа а) є невід’ємна величина а  0, яка дорівнює

Наприклад, - 6 = - (- 6 ) = 6.

Геометрично на числовій осі модуль числа х дорівнює відстані точки х від початку відліку.

Властивості модуля:

5.1 Модуль добутку кількох співмножників дорівнює добутку модулів цих співмножників

а  в  с  = а   в   с 

5.2 Модуль частки дорівнює частці модуля діленого і модуля дільника

5.3 Модуль суми не більший (менший або дорівнює) від суми модулів доданків

а + в+ с  а  + в + с

5.4 Модуль різниці не менший(більший або дорівнює) різниці модулів

а – в  а – в .

Геометрично на числовій осі модуль çх-уç різниці двох чисел дорівнює відстані між точками, які зображають ці числа

Приклади до розділу 5. На основі визначення модуля числа перевірити безпосередньо істинність заданих нерівностей, які відповідають властивостям 5.3, 5.4.

а) 3+(– 8)  3  + –8 . Справді, – 5  3+8   511, що є правильною числовою нерівністю.

б) (–7) – 9   –7 – 9 . Справді, –16  7–9  16  –2, що є правильною числовою нерівністю.

6. Поняття кореня та його властивості

Коренем n-го степеню (n  N) із числа а є таке число b, n- ий степінь якого дорівнює підкореневому числу а:

де

Символ кореня носить назву радикала; вираз із коренем називається ірраціональністю.

У випадку кореня квадратного число n =2 в позначенні кореня не вказується.

6.1 Корінь непарного степеню має одне значення того самого знаку, що й підкоренева величина.

Приклади до розділу 6.

6.2 Корінь парного степеню існує лише для невід’ємного підкореневого числа і має два значення, протилежні за знаком

.

Але якщо перед коренем не вказано подвійного знаку, то під його значенням розуміють одне невід’ємне значення – арифметичне значення кореня парного степеню

7. Дії над степенями з натуральними показниками

7.1 .

7.2

Тобто, при піднесенні степеня в степінь показники степенів перемножуються, а при множенні степенів з однаковими основами показники степенів додаються.

При діленні степенів з однаковими основами показники степенів віднімаються.

7.3 За визначенням: для довільного числа в нульовій степені маємо:

.

Це узгоджується з останньою із формул (7.2) при m = n:

7.4 За визначенням під від’ємним степенем числа розуміємо величину

Це узгоджується з останньою із формул (7.2) при n=0:

7.5 За визначенням

тобто степінь, обернений до числа n, означає взяття кореня n-го степеня.

Узагальнення. Дії 7.1-7.2 над степенями з натуральними показниками поширюються на випадок від’ємних, дробових (раціональних) та ірраціональних показників.

Приклади до розділу 7. Обчислити: а) 2³:10⁷5³; б) (2³)⁵:2^-5

Розв’язання

а) 2³:10⁷5³ = (2³5³):10⁷ = (25)³:10⁷ = 10³:10⁷ = 10 ^{3 -7} = 10 ^{- 4} = 1/10 ⁴ =1/10000=0,0001;

б) (2³)⁵:2^-5 = 2¹⁵:2^-5 = 2^{15 - (-5)} = 2²⁰ = 2¹⁰ 2¹⁰ = 10241024 = 1024².

8. Дії над коренями

8.1. .