МІНІСТЕРСТВО ТРАНСПОРТУ ТА ЗВ’ЯЗКУ УКРАЇНИ

Державний департамент з питань зв’язку та інформатизації

Державний університет інформаційно-комунікаційних технологій

Харківський коледж

ПОГОДЖЕНО

Заступник директора з НМР

____________C.Б. Макашев

_____ _______ 2009р.

ЗАТВЕРДЖУЮ

Директор ХК ДУІКТ

_______________ О.П. Улєєв

____ ________ 2009р.

Методичні рекомендації

З дисципліни « Вища математика»

За темою « Кратні інтеграли»

Двойной интеграл в прямоугольных координатах

Пусть функция / (л:, у) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОу. Разобьем область D произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади ∆σ_1, ∆σ₂… ∆σ_n и диаметры d₁, d₂,, .. d_n (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку Р_k (ξ _n;η _n) и умножим значение функции в точке Р_k на площадь этой области.

Интегральной суммой для функции / (х, у) по области D называется сумма вида

Если при max d_k→ 0 интегральная сумма имеет определенный конечный предел

не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек Р_k в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x;y) в области D и обозначается следующим образом:

Задачи с решениями

Решение

Решение

Решение

Решение Построим область D. Первая линия — парабола с вершиной в точке (0; 2), симметричная относительно оси Оу. Вторая линия—прямая. Решая совместно уравнения у = 2—х² и у = 2х—1, найдем координаты точек пересечения: А(—3; —7), В(1; 1) (рис. 3).

Область интегрирования принадлежит к первому виду. Находим

Решение

6. Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение Область интегрирования D ограничена линиями х = —1, х =1, у =

Задачи

1. Вычислить если область D — прямоугольник

2. Вычислить если область D — прямоугольник

3. Вычислить если область D — прямоугольник

4. Вычислить

5. Вычислить

6. Вычислить если область D — ограничена линиями

7. Вычислить если область D — ограничена линиями

8. Вычислить если область D — ограничена линиями

9. Вычислить если область D —треугольник с вершинами

Изменить порядок интегрирования:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Замена переменных в двойном интеграле

1. Двойной интеграл в полярных координатах.

Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, у к полярным координатам ρ, θ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями х = pcos θ, у= р sin θ , осуществляется по формуле

Задачи с решениями

1. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл

Решение Полагая х = pcos θ, у= р sin θ, имеем

2. Вычислить если область D—кольцо между окружностями

Решение Перейдем к полярным координатам:

3. Вычислить если область D—квадрат, ограниченный прямыми

Решение Положим

4. 

Решение Произведем замену переменных так, чтобы xy = uv и x²/y = v; тогда

Задачи

Переходя к полярным координатам, вычислить двойные интегралы:

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

3. Вычисление площади плоской фигуры

Задачи с решениями

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями х = 4y – y², x+ y =6.

Решение Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему систему уравнений х = 4y – y², x+ y =6 (чертеж рекомендуется выполнить самостоятельно). В результате получим A(4; 2), В (3; 3). Таким образом,

2. 

Решение

Задачи

Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:

16 17.

18.

19. 20.

21.

22.

23.

24.

4. Вычисление объема тела

Задачи с решениями

1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

и расположенного в I октанте.

Решение Тело, объем которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью

2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Решение Данное тело ограничено сверху параболоидом Область интегрирования D — круговой сектор, ограниченный дугой окружности

3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Решение

Задачи

Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32

33.

34.

35.