Практическое занятие № 2

Минимизация булевых функций

1. Метод диаграмм Вейча

2. Метод Квайна

3. Метод импликантных таблиц

Для рассмотрения методов минимизации введем некоторые определения.

Конъюнкция называется элементарной, если число ее членов меньше некоторого множества переменных n, причем любая переменная входит в конъюнкцию только один раз. Число членов элементарной конъюнкции определяет ее ранг.

Под импликантой булевой функции f(x₁, х₂, ...,х_n) понимается такая булева функция f₁(x₁, х₂, ...,х_n), если на любом наборе значений переменных x₁, х₂, ...,х_n, на котором значение функции f₁ равно единице, значение функции f также равно единице.

Под простой импликантой булевой функции f(x₁, х₂, ...,х_n) понимается всякое элементарное произведение , которое является импликантой функции f и никакая собственная часть этого произведения в функцию f не входит, т.е. простые импликанты — элементарные конъюнкции наименьшего ранга, входящие в данную булеву функцию.

Сокращенной дизъюнктивной нормальной формой булевой функции называется такая функция, которая равна дизъюнкции всех своих простых импликант.

Несмотря на то что сокращенная ДНФ булевой функции содержит меньшее число букв, чем СДНФ этой же функции, она в большинстве случаев допускает дальнейшее упрощение за счет поглощения некоторых простых импликант дизъюнкцией других простых импликант. В случае, если в дизъюнкции простых импликант, представляющих заданную булеву функцию, ни одну из импликант исключить нельзя, то такую дизъюнкцию называют тупиковой дизъюнктивной нормальной формой заданной функции.

Некоторые булевы функции имеют несколько тупиковых ДНФ. Тупиковая ДНФ булевой функции, содержащая наименьшее число букв, будет минимальной ДНФ.

Таким образом, общую задачу минимизации булевых функций можно решать в такой последовательности.

1. Для заданной функции находят сокращенную ДНФ, т.е. все простые импликанты.

2. Определяют тупиковые ДНФ заданной функции, среди которых выбирают минимальную ДНФ.

1. Диаграммы Вейча

Диаграмма Вейча – это специального вида таблица, используемая для задания логических функций и позволяющая упростить процесс поиска минимальных форм.

Для логических функций, зависящих от n переменных, диаграмма Вейча представляет собой прямоугольник, разделенный на 2ⁿ клеток. Каждой клетке диаграммы ставится в соответствие двоичный n-мерный набор. Взаимно однозначное соответствие между двоичными наборами и клетками диаграммы устанавливается разметкой последней.

Для функций, зависящих от трех переменных, один из возможных вариантов разметки диаграммы Вейча имеет вид, показанный на рис.1.

Четыре верхних клетки диаграммы соответствуют двоичным наборам, в которых переменная х₁ принимает значение 0; четыре нижних клетки соответствуют наборам, в которых переменная х₁ принимает значение 1.

Клетки, составляющие левую половину диаграммы, соответствуют наборам, в которых переменная х₂ принимает значения 1, а в правой половине находятся клетки, в которых переменная х₂ принимает значение 0.

Рис. 1.

Четыре центральные клетки соответствуют наборам, в которых переменная х₃ принимает значения 1, а в левом и правом крайних столбцах находятся клетки, в которых переменная х₃ принимает значение 0.

На рис. 2 приведены пример разметки диаграммы для логических функций четырех переменных.

Рис. 2.

Диаграммы Вейча для большего числа переменных могут быть составлены из диаграмм меньшего числа переменных. Например, диаграмму Вейча для пяти переменных можно составить, соединив две диаграммы для четырех переменных. При этом удобно подсоединять их друг к другу одноименными столбцами (рис. 3). Тогда соседними клетками будут также клетки столбцов, симметрично расположенных относительно линии присоединения диаграмм Вейча четырех переменных для одноименных строк.

Рис. 3.

В клетки, соответствующие конституентам единицы минимизируемой булевой функции, записываются единицы, а в остальные — нули. Поэтому исходная минимизируемая функция первоначально должна быть представлена в СДНФ. Если функция задана аналитически, то она приводится к СДНФ с помощью операции развертывания, заключающейся в умножении некоторых членов на выражение вида .

Минимизация булевых функций с использованием диаграмм Вейча основывается на отыскании склеивающихся конституент единицы. Для диаграммы Вейча склеивающиеся конституенты единицы располагаются в соседних, вертикально или горизонтально расположенных клетках. Для диаграммы трех переменных (рис. 1) соседними клетками являются также клетки левого и правого столбцов для одноименных строк. Наглядно это можно представить, если наклеить диаграмму на цилиндр так, чтобы левая ее граница совпала с правой.

Для диаграммы Вейча четырех переменных (рис. 2) соседними клетками будут также клетки, расположенные в верхних и нижних строках для одноименных столбцов.

Процесс отыскания минимальной ДНФ заключается в том, чтобы всю совокупность единиц диаграммы Вейча накрыть наименьшим числом наиболее коротких произведений. Для этого соседние клетки диаграммы, содержащие единицы, объединяют в группы (склеиваются).

Каждой такой группе будет соответствовать группа склеивающихся конституент единицы. Причем количество клеток, входящих в одну группу, равно 2^k (где k = 1, 2, 3, ...), а каждая клетка, входящая в группу, должна иметь k соседних клеток.

Для получения минимальной ДНФ достаточно выполнить следующие условия:

• каждая единичная клетка должна входить хотя бы в одну группу (при этом одна и та же клетка может входить в несколько групп);

• в каждую группу должно входить максимальное количество клеток, т.е. ни одна группа, удовлетворяющая обоим вышеприведенным правилам, не должна быть частью другой группы, удовлетворяющей этим же правилам;

• количество групп должно быть минимальным.

Рекомендации по минимизации булевых функций с использованием диаграмм Вейча:

1. Рассматриваются поочередно клетки, содержащие единицы, и анализируются всевозможные варианты склеивания. При этом сначала склеивание выполняется только для тех клеток (единиц), для которых вариант склеивания единственный. В результате будут выделены обязательные (или существенные) простые импликанты.

2. Оставшиеся несклеенные клетки (единицы) необходимо склеивать таким образом, чтобы образовать минимальное число групп с максимальным числом клеток в каждой группе.

3. Каждой группе объединенных клеток в минимальной ДНФ будет соответствовать простая импликанта, определяемая как конъюнкция только тех переменных, значения которых постоянны для всех наборов, задающих клетки данной группы.

Группе, состоящей из 2^k клеток, соответствует конъюнкция из n – k букв, где n — число переменных в исходной булевой функции.

Пример 1. Найти минимальную ДНФ для булевой функции трех переменных, заданных следующей таблицей истинности:

х1	х2	х3	z
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

СДНФ для этой функции

.

Составим диаграмму Вейча (рис. 4)

Рис. 4

Здесь возможны два варианта склеивания:

1) склеивается с по переменной x₁ – образуется импликанта ; склеивается с по переменной x₁ – образуется импликанта ; склеивается с по переменной x₃ – образуется импликанта . Отсюда получается первая минимальная ДНФ

;

2) склеивается с по переменной x₁ – образуется импликанта ; склеивается с по переменной x₁ – образуется импликанта ; склеивается с по переменной x₂ – образуется импликанта . Отсюда получается вторая минимальная ДНФ

.

Подстановкой в полученные выражения значений переменных x₁, x₂, x₃ легко убедиться в том, что минимизированные логические функции реализуют заданное исходное выражение.

Пример 2. Найти минимальную ДНФ для булевой функции четырех переменных, заданных следующим выражением (в СДНФ):

Диаграмма Вейча для этого случая приведена на рис. 5.

Рис. 5.

Здесь возможно склеивание по четырем конституентам единицы:

; ; ; склеиваются по переменным х₂ и х₄ – образуется импликанта ;

; ; ; склеиваются по переменным х₂ и х₃ – образуется импликанта ;

; ; ; склеиваются по переменным х₁ и х₄ – образуется импликанта .

Таким образом, окончательное выражение для минимальной ДНФ:

В дискретных устройствах ЭВМ часто встречаются комбинационные схемы, на входы которых некоторые комбинации сигналов никогда не поступают. Такие комбинации называются запрещенными. Значения выходных сигналов, соответствующие запрещенным комбинациям, не определяются, и их можно выбирать произвольно, что часто дает возможность упростить комбинационную схему.

Законы функционирования комбинационных схем с запрещенными комбинациями входных сигналов описываются неполностью определенными функциями, т.е. такими функциями, значения которых определены не на всех наборах аргументов.

Двоичные наборы, на которых функция не определена, называют свободными. При табличном задании неполностью определенных переключательных функций свободные наборы отмечаются прочерком.

Рассмотрим упрощение неполностью определенных булевых функций, которые описывают работу логических схем с запрещенными комбинациями входных сигналов.

Для неполностью определенных булевых функций можно произвольно задать значение функции на тех наборах, на которых она первоначально не была задана. При минимизации таких функций стремятся для запрещенных комбинаций входных сигналов присвоить такие значения исходной функции, которые позволяют ее упростить.

Пример 3. Минимизировать булеву функцию четырех переменных, заданную диаграммой Вейча (рис. 6), только на 11-ти наборах двоичных аргументов. Неопределенные значения на диаграмме отмечены прочерком.

Рис. 6.

Принимая значения функции на некоторых наборах равными единицы, а на других — нулю, там где функция не определена, получим ДНФ исходной функции в следующей минимальной форме: