ФАН / Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция4_5

Вопросы по курсу «Функциональный анализ и интегральные уравнения»

1.Определение и свойства меры. Доказать теорему: длина является сигма-аддитивной мерой на полукольце стандартных полуинтервалов.

2.Определение и примеры множеств меры нуль. Определение внешней и внутренней меры. Доказать теорему: внешняя мера, рассматриваемая на всех подмножествах множества X, является счетнополуаддитивной.

3.Определение и примеры измеримых по Лебегу множеств. Доказать, критерий измеримости: Множество A из X измеримо по Лебегу тогда и только тогда, если для любого ε>0 существует элементарное множество B такое, что внешняя мера их симметрической разности меньше ε.

4.Доказать теорему: внешняя мера, рассматриваемая на всех подмножествах множества X, является счетнополуаддитивной. Сформулировать основную теорему Лебега теории меры и перечислить этапы ее доказательства.

5.Описать, как строится канторовское множество. Перечислить его свойства. Доказать несчетность канторовского множества и то, что оно имеет меру нуль.

6.Определение и примеры измеримых функций. Доказать теорему об измеримости точечного предела измеримых функций.

7.Определение и примеры простых функций. Свойства простых функций. Сформулировать теорему Егорова и привести обоснованный пример, иллюстрирующий ее (упр. 6, лекция 4).

8.Определение интеграла Лебега для ограниченой измеримой функции. Доказать, что интеграл Лебега существует для любой ограниченой измеримой функции.

9.Определение интегрируемой по Лебегу измеримой функции. Свойства интеграла Лебега. Доказать утверждение: Если – интегрируемая функция, то f(x) также интегрируема.

10.Сформулировать теорему «абсолютная непрерывность интеграла Лебега» и ее следствие «σ-аддитивность интеграла Лебега». Доказать теорему Лебега о мажорированной сходимости.

11.Доказать теорему Леви о монотонной последовательности функций.

12.Доказать теорему Фату о последовательности неотрицательных интегрируемых функций. Привести и обосновать пример последовательности функций, которая сходится в среднем, но не сходится точечно.

13.Доказать теорему о связи интеграла Римана и интеграла Лебега для функции, заданной на отрезке. Привести обоснованный пример ограниченной функции, заданной на отрезке, интегрируемой по Лебегу, но не интегрируемой по Риману.

14.Доказать теорему «критерий интегрируемости по Риману». Привести обоснованный пример, показывающий, что в случае точечной сходимости последовательности функций переходить к пределу под знаком интеграла нельзя.

15. Сформулировать теоремы о связи интеграла Лебега и несобственных интегралов Римана первого и второго рода. Привести обоснованный пример неограниченной функции, которая не интегрируема по Лебегу на отрезке [a,b], но ее несобственный интеграл Римана 2 рода сходится. Привести и обосновать пример функции, которая не интегрируема по Лебегу на луче [a,+∞], но ее несобственный интеграл Римана 1 рода сходится.