ФАН / Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция4_5
.pdfПусть теперь f, g – произвольные
интегрируемые функции и пусть fn , gn – равномерно сходящиеся к
ним последовательности простых интегрируемых функций. Чтобы получить свойство 2, достаточно перейти к пределу в равенстве
fn d gn d ( fn gn )d ■
X X X
3. fd fd
X X
4. Если f – ограниченная измеримая
функция, то она интегрируема.
5. Если f – интегрируемая функция и
f(x)<=c, то |
f (x) c ( X ) |
|
X
Пусть fn(x)=m/n, где m/n<=f(x)< (m+1)/n
Тогда последовательность простых
функций fn(x) равномерно сходится к
функции f(x) и fn(x)<= f(x)<=c. Далее,
в неравенстве для простых функций
fn (x) sup fn (x) ( X ) c ( X ) |
|
X |
x X |
достаточно перейти к пределу, чтобы получить требуемое
неравенство. ■
6. Если для измеримой функции f
существует интегрируемая функция
φ, такая, что |
|
f (x) |
|
(x) |
|
|
|||
то f интегрируема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 6 доказываем сначала
для простых функций, а затем – для произвольных с помощью предельного перехода.
7. Если f – интегрируемая функция, а g – ограниченная измеримая
функция, то f·g также интегрируема, причем
f (x)g(x)d c |
|
f (x) |
|
d, |
где c sup |
|
g(x) |
|
|
|
|
||||||
X |
X |
|
|
|
|
X |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство: интегрируемость следует из свойства 6, а само неравенство – из упр.3 и неравенства
c f (x) f (x)g(x) c f (x)
Заметим, что из определения интеграла следует утверждение: Если функция f интегрируема на множестве X, то она интегрируема на любом измеримом подмножестве
A X
при этом f (x)d A f (x)d
A X
Далее, если A,B – непересекающиеся
измеримые множества, то
A B |
A B |
|
а тогда |
|
|
fd fd fd |
||
A B |
A |
B |
|
|
|
Последнее равенство также называется аддитивностью (по области интегрирования) интеграла.
8. Если f – интегрируемая функция, |
||
то f (x) также интегрируема. |
||
При этом |
f (x)d f (x) d |
|
|
||
|
X |
X |
Свойство 8 доказывается сначала
для простых функций, а затем – для интегрируемых с помощью предельного перехода.
9. Если μ(A)=0, то f (x)d 0
A
для любой функции f.
Из свойства 9 следует, что если f(x)=0 почти всюду на X, то
f (x)d 0
X
В частности, если f1 (x) =f2(x) почти всюду на X, то f1 (x)d f2 (x)d
X X
Лемма 2. Пусть f (x) – интегрируемая
функция, f (x)>=0, c>0 и пусть
Ac {x | f (x) c}
Тогда справедливо неравенство
Чебышева |
|
|
|
|
( A ) |
1 |
f (x) |
||
|
||||
|
c |
|||
|
c |
X |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
Доказательство следует из свойств 2,5 и цепочки неравенств:
f (x)d f (x)d |
f (x)d |
|
X |
Ac |
X \ Ac |
f (x)d c ( Ac )
Ac
10. Если f (x)d 0
X
то f(x)=0 почти всюду на X.
Обозначим Ac {x | f (x) c}
|
|
|
Тогда A0 {x | |
f (x) |
0} A1/ n |
|
|
n 1 |
Докажем теперь, что μ(A0)=0.
По неравенству Чебышева (лемма 2):
( A |
) |
1 |
|
|
f (x) |
|
d 0 |
|
|
|
|
||||||
|
||||||||
1/ n |
1/ n X |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Следовательно |
|
( A0 ) ( A1/ n ) 0 ■ |
||||||
n 1
Упражнение 2. Докажите с помощью
свойства 5, что если f – интегрируема и f(x)>=0, то
f (x)d 0
X
Упражнение 3. (монотонность интеграла) Докажите с помощью свойства 5, что если f1,f2 – интегрируемые функции и f1(x)>=f2(x),
то
f1 (x)d f2 (x)d
X X
Упражнение 4. Доказать или
опровергнуть утверждение: Если f (x)
– интегрируемая функция, то f(x) также интегрируема.
Основатель функционального анализа
Стефан Банах.
Выше его прошлом столетии был лишь Давид Гильберт.
С.Банах был деканом физмата Львовского университета непрерывно с 1939 по 1945 г. По его завещанию основополагающий труд "Основи функцiонального аналiзу" может быть опубликован только на украинском языке.
30.03.1892 - 31.08.1945
Кофейня "Шотландская"
В прошлом здесь собирались великие математики: Стефан Банах, Хуго Стейниц, Станислав Улам и многие другие.
Здесь родилось множество теорий и направлений в новейшей математике. Сохранилась (в Великобритании) и "шотландская" тетрадь - толстая тетрадь с оригинальными формулировками теорем и решениями нетривиальных задач.
Эту тетрадь всегда подавали к столу, дабы разгоряченные спорами математики не писали на скатерти...