ФАН / Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция11
.pdf
§…Компактные множества
Лемма Бореля (о покрытии). Из
любого бесконечного открытого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное 
подпокрытие.
Лемма Больцано. Из любой бесконечной ограниченной числовой последовательности
можно выделить сходящуюся
подпоследовательность.
Определение 1. Множество M в НВП называется компактным, если из любой последовательности можно выделить подпоследовательность, 
сходящуюся к элементу из M.
Определение 2. Семейство множеств Uα называется открытым покрытием множества M, если M содержится в объединении этих множеств.
Лемма 1. Компактное НВП – полно.
Замечание. Обратное утверждение неверно.
Определение 3. НВП называется
предкомпактным, если у любой последовательности существует
фундаментальная подпоследовательность.
Замечание. Определения 1 и 3 справедливы для множеств, совпадающих со всем НВП. (НВП называется компактным …)
Лемма 2. Предкомпактное множество ограничено.
Замечание. Ограниченное множество в НВП не обязательно предкомпактно Пример: единичный замкнутый шар в l1.
Определение 4. Множество S в НВП называется ε-сетью для M, если для любой точки x из M найдется точка s из S такая, что 
x s
Определение 5. Множество M в НВП называется вполне ограниченным, если для любого ε>0 в НВП найдется ε-сеть для множества M.
Теорема 1 (Хаусдорф). Множество в НВП предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.
Пусть M – предкомпактное множество в X. Для данного ε будем строить ε-сеть. Берем произвольную точку x1 из X и
выберем x2 так, чтобы |
|
|
x1 x2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
затем выберем x3 так, чтобы |
|||||||||||||||||||||
|
|
x1 x3 |
|
|
|
, |
|
|
x1 x2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
и так далее… xn+1 |
выбираем так, |
||||||||||||||||||||
чтобы |
|
|
|
|
xn 1 |
xk |
|
|
, |
|
|
k 1,..., n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Предположим, этот процесс может продолжаться бесконечно. Тогда мы получим последовательность, из которой нельзя выбрать подпоследовательность Коши (почему?).
Теорема 2. Множество в НВП компактно тогда и только тогда, когда у его любого открытого покрытия существует конечное подпокрытие.
Пусть (xn) последовательность и
пусть Xn замыкание множества
{xn, xn+1, …}. Покажем, что X n
n 1
Предположим обратное:
|
|
|
|
пусть |
X n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||
Тогда |
X Un |
( X \ X n ) |
|
|
|
n 1 |
n 1 |
причем Un открыты. Ввиду предположения теоремы существует
номер N такой, что |
N |
|||
X U n |
||||
|
N |
|
n 1 |
|
|
|
|
||
Тогда |
X n |
но это неверно, |
||
|
n 1 |
|
N |
|
так как |
|
|
||
X N 1 |
X n |
|||
|
||||
n 1
Поэтому x0 X n
n1
итогда можно выбрать искомую подпоследовательность, которая сходится
к точке x0.
Пусть множество M компактно. Тогда по теореме Хаусдорфа оно вполне ограничено и полно.
Предположим, что найдется открытое покрытие {U }, из которого нельзя выбрать конечное подпокрытие.
Так как множество вполне ограничено, покроем его конечным набором шаров радиуса ½. Тогда хотя бы один из этих шаров B1=B(x1, 1/2) не может быть покрыт конечным подпокрытием. Поскольку множество B1 M также
вполне ограничено, покроем его
конечным набором шаров радиуса 1/22.
И найдем шар B2=B(x2, 1/22), пересекающийся с B1, который не может
быть покрыт конечным подпокрытием.
Продолжая данный процесс, найдем последовательность шаров Bn, ни один из которых не может быть покрыт конечным подпокрытием, причем
Bn Bn 1 непусто. По неравенству треугольника получаем
|
|
m |
||
xn xm |
|
2 |
1 |
0 |
|
||||
|
k |
|||
|
|
k n 2 |
||
То есть центры шаров образуют последовательность Коши, и в силу полноты пространства сходятся к некоторой точке a.
0 : a U 0 |
U 0 открыто |
Осталось найти шар B(a, r) U 0
а затем шар BN B(a, r) U 0
из построенной последовательности
шаров, который не может быть покрыт конечным подпокрытием.
Получено противоречие.