ФАН / Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция3
.pdf3. Мера Лебега на прямой
Повторим процедуру лебеговского
продолжения меры для линейных
множеств. Отправная точка –
полукольцо полуинтервалов,
лежащих в X=[0,1[.
В этом случае алгебра K состоит из конечных непересекающихся объединений полуинтервалов
|
n ( A) |
|
|
|
K A | A [ i , i [, |
[ i |
, i |
[ [0, 1[ |
|
|
i 1 |
|
|
|
и мера на ней задана
естественным образом
n ( A)
m( A) i i
i 1
Для произвольного множества
из [0,1[ определим внешнюю
меру * ( A) inf ( i i )
i
где inf берем по таким
наборам полуинтервалов, что
|
|
A [ i , i [, |
[ i , i [ [0, 1[ |
i 1 |
|
Затем – внутренняя мера, равная внешней мере дополнения [0,1[\A.
Измеримыми по Лебегу множествами
называются те, для которых равны
внутренняя и внешняя меры.
Мерой Лебега измеримого множества называется его внешняя мера.
Измеримые по Лебегу множества из [0,1[ образуют σ-алгебру.
Измеримые ограниченные
множества на числовой прямой:
точка, любое счетное множество, множества меры нуль;
отрезок, интервал, любое открытое или замкнутое множество
множество Кантора (несчетное)
σ-алгебра борелевских множеств
(множества, полученные из
интервалов с помощью счетного
числа операций объединения,
пересечения и дополнения) –
все борелевские множества измеримы.
Разделим отрезок [0,1] на три
равные части и выбросим средний
интервал G1=]1/3, 2/3[. Получим
множество F1.
Каждый из оставшихся отрезков [0, 1/3] и [2/3, 1] множества F1 снова
делим на три равные части и из
каждой части выбрасываем
средний интервал, то есть
выбрасываем множество
G2 [2 / 3 1/ 9, 2 / 3 2 / 9] [1/ 9 2 / 9]
получим множество F2= F1 \ G1
Для построения Fn каждый из 2n-1
отрезков, составляющих
множество Fn-1, делим на три
равные части и выбрасываем
средние интервалы длины 3-n
Fn Fn 1 \ Gn
Множество, которое остается
после выбрасывания всех Gn ,
называется канторовым.
K Fn
1
Множество K непусто, так как содержит, например, концы выброшенных интервалов.
Множество K замкнуто, как пересечение замкнутых множеств (или дополнение открытого
множества |
|
) |
|
|
|
|
Gn |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
Найдем меру дополнения |
|
|||||
множества K |
|
|
|
|
|
|
(G) (Gk ) 2 |
k 1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 3k |
|
|||
Следовательно, μ(K)=1-μ(G)=0
Далее, каждое число x из [0, 1]
представим в виде троичной дроби:
x a1 / 3 a2 / 32 a3 / 33 ...
где ak могут принимать значения
0, 1, 2.
Покажем, что K – несчетно. На
первом шаге построения
множества K мы выбрасываем
числа, у которых a1 =1 (множество
G1). На втором шаге
выбрасываем числа, у которых a2 =1 (множество G2). И так далее.
Множество K состоит из чисел, в
троичном представлении которых
отсутствует цифра 1, то есть
оно равномощно множеству всех бесконечных последовательностей из 0 и 2.
А последнее множество равномощно
множеству последовательностей из
0 и 1, то есть множеству всех чисел
отрезка [0,1], записанных в виде
двоичных дробей.
Итак, множество Кантора замкнуто, измеримо, несчетно.
Кроме того, оно не имеет изолированных точек (и, значит, совершенно)
Совершенное множество – замкнутое, без изолированных точек.
Любое открытое множество на числовой прямой есть конечное либо счетное объединение попарно непересекающихся интервалов (конечных или бесконечных). Эти интервалы называются
составляющими интервалами открытого множества на прямой, а также смежными интервалами замкнутого множества,
служащего дополнением к этому открытому.
Докажите: Для того, чтобы замкнутое множество на прямой было совершенным, необходимо и достаточно, чтобы никакие два его смежных интервала не имели общих концов.
Множество E на числовой прямой называется нигде не плотным, если любой открытый интервал прямой содержит интервал, полностью свободный от точек множества E.
Докажите, что канторовское множество K является нигде не плотным совершенным множеством на прямой.
Далее рассмотрим пример
неизмеримого множества M из
[0,1]. Построение основано на
использовании аксиомы выбора.