ФАН / Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция12_etc

§…Теория Рисса-Шаудера уравнений с компактными операторами

При исследовании интегральных уравнений 2-го рода Фредгольм получил ряд теорем, заведомо не имеющих места для произвольных уравнений. В дальнейшем Ф.Рисс и Ю.Шаудер показали, что особые свойства этого класса уравнений вытекают из компактности интегральных операторов, и построили общую теорию уравнений с компактными операторами.

Пусть X – банахово пространство, K – компактный линейный оператор. Рассмотрим четыре уравнения: два в пространстве X :

и два в пространстве X´ :

Заметим, что Ker(I-K) – пространство решений однородного уравнения (2), Im(I-K) – множество y, для которых уравнение (1) имеет решения.

Теорема 1. Если K – компактный оператор, то подпространства Ker(I-K) и Ker(I-K´) конечномерны, а Im(I-K) и Im(I-K´) – замкнуты.

Доказательство. На подпространстве Ker(I-K) имеем Kx=x, т.е. оператор K действует как тождественный. Но тождественный оператор является компактным только в случае конечномерного пространства. Значит, Ker(I-K) конечномерно.

Так как K´ – компактный оператор, то приведенное выше рассуждение относится и к Ker(I-K´).

Обозначим L= Ker(I-K). Согласно теореме 0, существует разложение в прямую сумму X=L M. Обозначим через B сужение оператора A=I-K на M. Если Bx=0, то x M L и, значит, x=0.

Таким образом, Ker B={0}, т.е. B – инъективный оператор;

по построению Im B=Im A. Значит, существует обратный оператор

B-1: Im A M.

Покажем, что оператор B-1 ограничен. Предположим противное. Тогда существует

последовательность xn M такая, что

||Axn|| 0 и ||xn||=1.

Так как последовательность (xn) ограничена, то (Kxn) – предкомпактное множетсво и, значит, существует подпоследовательность (Kxnk), которая сходится в M к точке x0. Но тогда

xnk Axnk Kxnk x0 M

В силу непрерывности A имеем

Axnk Ax0

и так как

Axnk 0 по условию, то Ax0=0. Значит, x0 L M, т.е. x0=0.

Но так как ||xnk||=1, получаем противоречие.

Таким образом, оператор B-1 ограничен, т.е. справедлива оценка

Из оценки (1) получаем замкнутость образа ImA. Пусть yn=Axn – последовательность элементов из ImA и yn y0. Покажем, что y0 ImA. Из неравенства (1) получим

||xn-xm|| c∙||Axn-Axm||=c∙||yn-ym|| 0, n, m , т.е. (xn) – посл-сть Коши.

Пространство X полное, значит, xn x0. Тогда, переходя к пределу, получаем y0= Ax0, т.е. y0 Im A. Так как K´ компактный оператор, то предыдущее рассуждение справедливо для оператора I-K´. ■

Теорема 2. Для того, чтобы уравнение x – Kx = y имело решение при любом данном y необходимо и достаточно, чтобы f(y)=0 для любого функционала f, удовлетворяющего

однородному сопряженному

уравнению f – K´f = 0.

По следствию 1 из Теоремы 2

§ «Сопряженные операторы» и

поскольку по Теореме 1 образ оператора Im(I-K) замкнут, получаем требуемое ■

Теорема 3. Для разрешимости неоднородного уравнения x-Kx=y

при любом y необходимо и достаточно чтобы однородное уравнение x-Kx = 0 имело только нулевое решение.

Необходимость. Предположим противное: I-K отображает X на все X, но

N1=Ker (I-K)≠{0}.

Тогда имеет место цепочка строгих включений

N1 N2 …Nk …,

где Nk обозначает ядро оператора (I-K)k.

Действительно, для любого ненулевого x1 N1 уравнение (I -K)x=x1

имеет решение x2 N1, причем

(I-K)2x2=(I-K)x1=0 x2 N2

N1 N2 строго. И так далее.

Тогда из леммы о почти перпендикуляре

вытекает существование последовательности

(zk Nk\ Nk-1), лежащей на единичной сфере, || zk ||=1,

причем для нее выполняется условие: ||zk-x|| ≥ ½ для любого x Nk-1

Рассмотрим последовательность Kzk: Поскольку (zk) ограничена, а оператор K компактен, (Kzk) будет предкомпактна, и из нее можно выбрать подпоследовательность Коши.

С другой стороны, при m > n

|| Kzn- Kzm || =

=|| zm – ((I-K)zm - (I-K)zn+ zn) || = =|| zm-w || ≥ 1/2,

поскольку w = (I-K)zm - (I-K)zn+ zn ,

и тогда w Nm-1

Значит, из последовательности (Kzk) нельзя выбрать подпоследовательность Коши. Полученное противоречие указывает на то, что предположение

Ker (I-K)≠{0} неверно.