ФАН / Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция9

Теорема о проекции.

Лемма 1. Ортогональное

дополнение к любому множеству

является замкнутым векторным

подпространством в H, где H – предгильбертово пространство.

Для любого вектора x из H обозначим

y1 , y2 Lx y1 y2 Lx

значит, Lx – подпространство.

yn Lx , yn y y Lx

достаточно перейти к пределу в

равенстве (x,yn)=0.

M Lx

x M

значит, M – счетное пересечение замкнутых подпространств и само является замкнутым

подпространством.

Определение ортогональной и ортонормированной системы векторов.

Теорема 1. (Пифагор)

Определение. Пусть L –

подпространство в предгильбертовом

пространстве H. Проекцией вектора x

на L называется вектор y из L такой,

что (x y,l) 0 l L

Пример. Пусть H = C[0,1] со скалярным

произведением, определяемым как

интеграл произведения функций,

L=P[0,1] –

подпространство функций, которые являются многочленами (любой степени). Проекции вектора x=et на L не существует.

Лемма 2. Пусть H – гильбертово

пространство. L – его замкнутое

векторное подпространство. Тогда

для любого x из H существует в L

ближайший к x элемент (элемент наилучшей аппроксимации вектора x векторами из L), т.е. такой, что

x y inf x l x l l L

l L

По определению точной нижней грани

существует последовательность yn из

Используя тождество параллелограмма, получаем

0 yn ym 2 (x ym ) (x yn ) 2

(x ym ) (x yn ) 2 2 x yn 2 2 x ym 2

( yn ym ) / 2 L

x ( yn ym ) / 2 d

0 yn ym 2 2 x yn 2 2 x ym 2 4d 2 0

Таким образом, yn есть

последовательность Коши в полном

пространстве H. Значит, она сходится

к некоторому y из H :

Последнее неравенство невозможно,

если (z,ℓ)≠0. Таким образом, (z,ℓ)=0.

Докажем единственность проекции.

Ортонормированные

системы в гильбертовом пространстве.

Пусть (en) – ортонорм. система в

гильбертовом пространстве H.

Предположим, что вектор x можно представить в виде ряда:

x ck ek

k 1

Умножим скалярно равенство на en:

(x, en ) ck (ek , en ) cn

k 1

Определение. Число cn называется

коэффициентом Фурье вектора x по

ортонормированной системе.

Упражнение 1. Докажите, что

любая ортонормированная

система линейно независима.

Теорема 1. Пусть (en) – ортонорм. система в гильбертовом пространстве H, x –произвольный

вектор, ck = (x,ek). Тогда:

1) числовой ряд из квадратов коэффициентов ck сходится, причем справедливо неравенство

3)сумма ряда Фурье есть проекция

элемента x на подпространство L,

порожденное системой (en).

4)элемента x равен сумме своего ряда Фурье тогда и только тогда,

когда справедливо равенство

Парсеваля-Стеклова:

Доказательство. 1. Рассмотрим

частную сумму ряда Фурье

n

Sn ck ek

k 1

Проверим, что разность x-Sn

ортогональна ej ( j=1,…n):

n

(x Sn , ej ) (x, ej ) ck (ek , ej ) c j c j 0

k 1