Свойства

• Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.

  • В частности, оно замкнуто.

• Канторово множество континуально. В частности,

  • Канторово множество не счётно

• Канторово множество имеет топологическую размерность 0.

• Канторово множество имеет промежуточную (т.е. не целую)Хаусдорфову размерность равную ln2/ln3. В частности,

  • Канторово множество имеет нулевую меру Лебега.

4. Определение и примеры измеримых функций.

Множество X , на котором задана некоторая σ-алгебра его измеримых подмножеств Σ называется измеримым пространством и обо-значается (X; Σ).

Пусть X – пространство с мерой. Действительная функция f : X → R называется измеримой, если для любого c R множество A_c = {x : f (x) < c} измеримо (здесь R – расширенная

числовая прямая). Комплекснозначная функция g + ih измерима, если измеримы ее действительная и мнимая части.

5. Определение и примеры простых функций.

Пример:

6. Определение интеграла Лебега для простой функции. Примеры интегрируемых и не интегрируемых по Лебегу простых функций.

Пример неинтегрируемой функции:

Пример интегрируемой(можно придумать самому).

7. Определение интегрируемой по Лебегу измеримой функции. Примеры интегрируемых и не интегрируемых по Лебегу функций.

Определение:

Назовем измеримую функцию суммируемой по мере µ (интегрируемой по Лебегу) на X, если существует последовательность простых суммируемых на X функций , равномерно сходящаяся к . Интегралом Лебега суммируемой функции на множестве X называется предел интегралов Лебега от простых суммируемых функций :

Это определение корректно, если выполнены следующие условия:

1)Предел для любой равномерно сходящейся последовательности простых суммируемых на X функций существует.

2)Этот предел при заданной функции не зависит от выбора последовательности .

3)Для простых функций определения совпадают.

8. Сформулировать теорему о связи интеграла Римана и интеграла Лебега для ограниченной функции, заданной на отрезке.

Теорема:

Если для функции, заданной на отрезке [a,b], существует собственный интеграл Римана то она суммируема и

9. Определение и примеры векторных пространств над полем r, в том числе бесконечномерных.

Определение: (пусть K поле действительных или комплексных чисел (поле скаляров)).

Непустое множество E называется векторным (линейным) пространством над полем K, если для любых двух его элементов x и y определена их сумма x+y элемент того же множества и для любого и любого определено произведение αx, являющееся элементом множества E, причем эти операции удовлетворяют следующим условиям:

1. x+y=y+x;

2. (x+y)+z=x+(y+z);

3. В E существует элемент θ такой, что для любого справедливо x+θ=x;

4. Для каждого существует элемент , что выполняется x+(-x)=θ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

Пример:

* Множество всевозможных векторов (в трехмерном пространстве, на плоскости или прямой) образуют векторное пространство.

* Непрерывные функции, заданные на некотором отрезке [a,b], с обычными операциями сложения функций и умножения их на число образуют векторное пространство C[a,b], являющееся одним из важнейших для анализа.