ФАН / Обновленные вопросы по ФАиИУ(Белько)2011

1. Определение и свойства меры. Сформулировать теорему: длина является сигма-аддитивной мерой на полукольце стандартных полуинтервалов. Привести пример не сигма-аддитивной меры на полукольце стандартных полуинтервалов.

2. Определение и примеры множеств меры нуль. Определение внешней и внутренней меры. Сформулировать и оюъяснить теорему: внешняя мера, рассматриваемая на всех подмножествах множества X, является счетно-полуаддитивной.

3. Определение и примеры измеримых по Лебегу множеств. Сформулировать критерий измеримости по Лебегу (сравнение с элементарным множеством).

4. Сформулировать теорему: внешняя мера, рассматриваемая на всех подмножествах множества X, является счетно-полуаддитивной. Сформулировать основную теорему Лебега теории меры и перечислить этапы ее доказательства.

5. Описать, как строится канторовское множество. Перечислить его свойства. Доказать несчетность канторовского множества и то, что оно имеет меру нуль.

6. Определение и примеры измеримых функций. Сформулировать теорему об измеримости точечного предела измеримых функций. Привести примеры, иллюстрирующие ее.

7. Определение и примеры простых функций. Свойства простых функций. Верно ли утверждение: «Если – интегрируемая по Лебегу функция, то f(x) также интегрируема»? (Доказать или опровергнуть)

8. Определение интеграла Лебега для ограниченой измеримой функции. Верно ли, что интеграл Лебега существует для любой ограниченой измеримой функции? А интеграл Римана?

9. Определение интегрируемой по Лебегу измеримой функции. Свойства интеграла Лебега. Верно ли утверждение: «Если – интегрируемая по Лебегу функция, то f(x) также интегрируема»? Верно ли такое же утверждение для интеграла Римана?

10. Сформулировать теорему «абсолютная непрерывность интеграла Лебега». Сформулировать теорему Лебега о мажорированной сходимости. Привести пример, ее иллюстрирующий.

11. Сформулировать теорему Леви о монотонной последовательности функций. Привести пример, ее иллюстрирующий.

12. Сформулировать теорему Фату о последовательности неотрицательных интегрируемых функций. Привести и обосновать пример последовательности функций, которая сходится в среднем, но не сходится точечно.

13. Сформулировать теорему о связи интеграла Римана и интеграла Лебега для функции, заданной на отрезке. Привести два обоснованных примера ограниченной функции, заданной на отрезке, интегрируемой по Лебегу, но не интегрируемой по Риману.

14. Сформулировать теорему «критерий интегрируемости по Риману». Привести обоснованный пример, показывающий, что в случае точечной сходимости последовательности функций переходить к пределу под знаком интеграла нельзя.

15. Сформулировать теоремы о связи интеграла Лебега и несобственных интегралов Римана первого и второго рода. Привести обоснованный пример неограниченной функции, которая не интегрируема по Лебегу на отрезке [a,b], но ее несобственный интеграл Римана 2 рода сходится. Привести и обосновать пример функции, которая не интегрируема по Лебегу на луче [a,+∞], но ее несобственный интеграл Римана 1 рода сходится.

16. Определение и примеры векторных пространств, алгебраического базиса, подпространств векторного пространства. Определение нормы. Примеры нормированных векторных пространств над полем R и C. Доказать неравенство Юнга.

17. Показать подробно, как строится пространство L₁[a,b]. В частности, проверить, что норма на классах эквивалентности при построении пространства L₁[a,b] определена корректно.

18. Доказать неравенство Гельдера. Привести обоснованные примеры различных норм (в том числе неэквивалентных) на векторном пространстве C[a,b].

19. Доказать неравенство Минковского. Записать неравенства Гельдера и Минковского для бесконечных числовых последовательностей.

20. Определение и примеры открытых и замкнутых множеств в нормированных векторных пространствах. Привести различные определения замкнутого множества и доказать их эквивалентность. Доказать утверждение: открытый шар в НВП является открытым множеством.

21. Сформулировать лемму о почти перпендикуляре в нормированном векторном пространстве. Доказать, что НВП конечномерно тогда и только тогда, когда в нем единичный шар предкомпактен.

22. Определение и примеры всюду плотных множеств в нормированных векторных пространствах.

23. Доказать теорему «Принцип вложенных шаров». Сформулировать теорему о пополнении нормированного векторного пространства. Привести примеры, иллюстрирующие ее.

24. Определение эквивалентных норм в нормированном векторном пространстве. Доказать теорему о том, что на конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны. Сформулировать следствия из нее.

25. Определение и примеры предгильбертовых и гильбертовых пространств. Доказать лемму о существовании элемента наилучшей аппроксимации в гильбертовом пространстве.

26. Доказать теорему об ортонормированных системах (рядах Фурье) в гильбертовом пространстве.

27. Определение и примеры банаховых пространств. Доказать, что пространство C[0,1] – банахово, а пространство CL [0,1] – неполно.

29. Ряды в банаховых пространствах. Доказать теорему «Критерий полноты норм. вект. пространства».

30. Компактные и предкомпактные множества в нормированных векторных пространствах. Доказательство теоремы Хаусдорфа (критерий предкомпактности). Формулировка критериев предкомпактности в конкретных НВП: Rⁿ, L_p[a,b], ℓ_p.

31. Теорема Арцела-Асколи (с доказательством).

32. Лемма Бореля для числовой прямой (с доказательством). Формулировка критериев предкомпактности в конкретных НВП: Rⁿ, L_p[a,b], ℓ_p.

33. Определение, примеры и свойства ограниченных линейных операторов. Пример неограниченного оператора. Норма ограниченного линейного оператора. Пример вычисления нормы оператора

34. Общий вид линейных ограниченных функционалов, заданных на пространствах Rⁿ, c₀. Как устроено пространство, сопряженное к ℓ₁ ?

35. Определение обратимого оператора. Доказать теорему об обратимости ограниченного оператора, если и только если его образ плотен и . Сформулировать теорему Банаха об обратном операторе. Доказать следствие из нее.

36. Определение и примеры замкнутых линейных операторов. Доказать теорему о замкнутом графике, исходя из теоремы Банаха об обратном операторе.

37. Определение и примеры ограниченных линейных функционалов. Теорема Рисса об общем виде ограниченного линейного функционала в гильбертовом пространстве.

38. Формулировка классической теоремы Хана-Банаха в случае векторного пространства над R. Формулировка следствий 3-5 из нее.

39. Сопряженные операторы. Привести примеры сопряженных операторов в пространствах ℓp , Lp[a,b].

40. Определение и примеры ограниченных линейных функционалов. Теорема Рисса об общем виде ограниченного линейного функционала в гильбертовом пространстве.

41. Формулировка классической теоремы Хана-Банаха в случае векторного пространства над R. Доказательство следствий 1-2 из нее.

42. Сформулировать основную теорему Фредгольма для уравнений с компактными операторами в банаховом пространстве. Привести формулировку данной теоремы для уравнений с интегральными операторами в пространстве L₂[a,b].