ФАН / Вариант КР
.pdf
ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. В нормированном пространстве E найти предел последовательности, если он существует.
E = m, xn = 1 + n |
|
|
, . . . , 1 + n |
|
, . . . ; |
|||||||||
|
|
1 |
|
n |
|
2 |
|
i |
|
n |
||||
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
t(2 + n |
t |
|
|
|
|||||
|
E = C[0, 1], xn = |
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
2 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + n t |
|
|
|
|
||||
2. Доказать, что оператор A : X → Y является линейным и ограничен- |
||||||||||||||
ным. Вычислить его норму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
X = C[−1, 1], |
Y = L2[−1, 1], Ax(t) = |
R |
|
|
|
|
|
|||||||
|
s(t − 1/2)x(s)ds − tx(1). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить меру множества A при любом a R. |
|
|
||||||||||||
|
A = x (0, 1) : x(1− |
|
x) < a . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Выяснить компактность в пространстве C[0, 1] множества непрерыв- |
||||||||||||||
ных функций, удовлетворяющих условию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• |x0(t)| ≤ 2, |
t [0, 1], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•для любой функции x(t) C[0, 1] уравнение x(t) = 0 имеет хотя бы один корень.
5.При помощи теоремы Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала вычислить норму функционала в пространстве E.
1 |
1 |
1 |
R |
R |
|
E = L2[−1, 1], f(x) = sx(s)ds − s2x(s)ds; |
||
−1 |
|
0 |
E = C[−1, 1], f(x) = R s2x(s)ds − 2x(0).
−1
6. Выяснить, при каких значениях a, b R разрешимо интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода.
1 π/2
R
x(t) − 2 −π/2 (s sin t + cos s)x(s)ds = at + b.