ОТВЕТЫ!

Минимум понятий, примеров, определений, теорем по курсу

«Функциональный анализ и интегральные уравнения»

1. Определение и пример кольца и алгебры. Определение и примеры мер на кольце.

Определение. Пусть задано некоторое непустое множество Х. Непустое семейство называется кольцом, если оно обладает тем свойством, что из АK и ВK следует АВK, АВK.

Определение. Кольцо K называется алгеброй, если ХK. Х в этом случае называется единицей кольца. Примеры:

1. Для любого множества X система P(X) всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств.

2. На числовой прямой R система его конечных и счетных подмножеств представляет собой кольцо, но не алгебру.

Определение. Пусть на некотором множестве Х задано полукольцо SР(Х). Будем говорить, что на S задана мера, если каждому элементу АS поставлено в соответствие вещественное число m(A)R таким образом, что выполнены следующие условия:

1) AS : m(A) 0;

2) если , A, A_iS, то .

Определение.

Свойства меры на кольце

1. монотонность меры. Если А, ВK и АВ, то m(A) m(B);

2. если А, ВК и А В, то m(B\A) = m(B)-m(A);

3. если А, ВK, то m(AB) = m(A)+m(B)-m(AB);

4. если А, ВK, то m(AB) =m(A)+m(B)-2m(AB);

5. для любых множеств А, ВK выполняется |m(A)-m(B)| m(AB);

6. для любых множеств А, В, С K имеет место следующее неравенство: m (AB) m(AC)+m(CB).

2. Определение множества (ограниченного) на числовой прямой, измеримого по Лебегу. Примеры измеримых по Лебегу множеств на прямой.

Пусть m – полная, счётно-аддитивная, конечная мера. Множество называется измеримым по Лебегу относительно меры m, заданной на алгебре множеств К, если выполняется равенство:

Пусть – некоторый фиксированный полуинтервал прямой, – полукольцо, состоящее из полуинтервалов . Пусть K – алгебра подмножеств, порождённая полукольцом S, каждый элемент которой имеет вид причём полуинтервалы в правой части попарно не пересекаются. Через m обозначим меру на алгебре K, полученную продолжением меры с полукольца, т.е. . Для произвольного множества определим внешнюю меру , где точная нижняя грань берётся по всем таким наборам полуинтервалов , что . Множество называется измеримым по Лебегу, если Таким образом, мерой Лебега  на отрезке называется лебеговское продолжение длины.

Примеры:

Рассмотрим измеримые по Лебегу линейные ограниченные множества:

1. множество, состоящее из одной точки, измеримо и его мера равна нулю;

2. всякое не более чем счётное ограниченное множество точек прямой измеримо и его мера равна нулю;

3. любой промежуток измерим и его мера равна его длине;

4. любое ограниченное открытое или замкнутое множество измеримо по Лебегу;

5. любое ограниченное борелевское множество на прямой измеримо по Лебегу.

3. Конструкция множества Кантора, его свойства. Классическое построение

Из единичного отрезка  С0=[0,1] удалим среднюю треть, т. е. интервал (1/3,2/3). Оставшееся точечное множество обозначим через C1. Множество C1=[0,1/3] [2/3,1]состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через C2. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем C3. Дальше таким же образом получаем C4,C5 и тд. Обозначим через С пересечение всех Сi. Множество С называется Канторовым множеством.