МТФР_EK_дневная / Электронные лекции МТФР / мат теория фин рисков / Глава 1_Риски страхования / 6.Процессы исков

6. Процессы исков.

Рассмотрим модель разорения, использующую два случайных процесса: процесс числа исков и процесс совокупного иска

Первый процесс будет моделироваться процессом Пуассона, а второй – составным Пуассоновским процессом.

Для некоторого портфеля страховых договоров обозначим через

N(t)- число исков,

S(t) –совокупность исков в момент времени t.

Пусть N(0)=0 и S(t)=0 пока N(t)=0.

Через будем означать сумму иска, где . Тогда в момент времени t

Процесс N(t), называется процессом числа исков, в то время, как S(t), называется процессом совокупного иска.

Пусть . Тогда рассмотрим величины:

Это, соответственно, число исков, которые встретились во временном интервале от t до t+h.

Пусть - момент появления i-го иска. Тогда - СВ, для которых , т.е. мы исключаем тот момент времени, когда два и более исков встречаются в один и тот же момент времени.

Пусть - время ожидания, т.е. время, прошедшее между последними исками:

T₁

T₃

T₄

T₅

T₁

T₂

Рис 1. Вид процесса числа исков Рис 2. Вид процесса совокупного иска

N(t) и S(t) – ступенчатые функции.

Разрывы встречаются в моменты времени , когда появляются иски. Величина ступенек в эти моменты изменяются на 1 для N(t) и на соответствующую ему сумму иска для S(t).

Имеются три способа определения процесса числа исков:

1. Глобальный. Для мы задаем распределения СВ .

2. Инфинитезиальный. Задаем вероятность того, что , т.е. вероятность появления иска в бесконечно малом интервале времени от t до t+dt. Эта вероятность пропорциональна длине интервала т.е. dt.

3. Метод дискретизации времени (метод времени ожиданий). Здесь задается совместное распределение величин .