МТФР_EK_дневная / Электронные лекции МТФР / мат теория фин рисков / Глава 1_Риски страхования / 4.Модели коллективного риска

4. Модели коллективного риска.

В модели коллективного риска основным является понятие случайного процесса, который образует положительные иски из портфеля договоров.

Пусть N – число исков, порождаемых портфелем договоров страхования в течении заданного временного периода, т.е.

- сумма первого иска,

- сумма второго иска

… … … … … …

- совокупный иск, порождаемый портфелем в течение заданного периода.

Введем два предположения:

1. - одинаково распределенные величины.

2. СВ - независимы в совокупности

Получим распределение совокупных исков для фиксированного периоды времени из распределения числа исков и распределения сумм индивидуальных исков.

Пусть - общая функция распределения независимых и одинаково распределенных величин .

Тогда k-ый начальный момент:

Производящая функция моментов СВ Х:

Производящая функция моментов СВ N – числа исков:

Производящая функция совокупного спроса:

Тогда (1)

(2)

где - первые два момента распределения СВ Х.

Выражение (1) означает, что среднее значение величины совокупного спроса равно произведению среднего значения суммы индивидуального иска на среднее число исков.

Дисперсия совокупного иска, задаваемая (2), равна сумме двух слагаемых, где первое характеризует изменчивость размеров индивидуальных исков, а второе изменчивость числа исков.

Аналогичным образом получаем производящую функцию моментов для совокупного иска:

Для распределения числа исков N чаще всего выбирают Пуассоновское распределение:

, n=0,1,..

Тогда для совокупной суммы исков S находим, что:

и можно сказать, что S имеет составное Пуассоновское распределение.

В качестве распределения суммы индивидуальных исков Х чаще всего используют экспоненциальное распределение. Например, если суммы (экспо) индивидуальных исков имеет экспоненциальное распределение с параметром 1, то плотность вероятности имеет вид:

, x>0

отметим, что даже простой вид распределения сумм индивидуальных исков может привести к довольно сложному виду распределения совокупного иска.