МТФР_EK_дневная / Электронные лекции МТФР / мат теория фин рисков / Глава 2_Экономические риски / 1. Анализ моделей непрерывного времени

Глава 2: Экономические риски

1. Анализ моделей непрерывного времени.

Математические и экономические предположения.

Модели непрерывного времени применяются для анализа рынка ценных бумаг. Мы предполагаем, что торговля на рынке ЦБ ведётся непрерывно, т.е. информация о состоянии рынка вместе с реакциями на эту информ. происходит непрерывно.

Модель непрерывной торговли явл. приемлемым приближением дискретной модели.

Рассмотрим математические и экономические предположения о модели непрер. времени.

Пусть – обозначает горизонт торговли, т.е. min отрезок времени, в теч. которого на рынке ЦБ инвесторами м.б. реализованы последовательные сделки.

Пусть – цена актива в момент времени .

Тогда изменение цены актива между моментами времени и м.б. записано в виде:

где – число интервалов торговли между моментами времени 0 и .

Разность определяет изменение цены, в течение -го интервала торговли.

Предположение о непрерывной торговли подразумевает, что продолжительность интервала торговли очень малое, а число интервалов торговли очень большое.

Определим оператор условного мат. ожидания, т.е. мат. ожидание прт условии знания всей существенной информации, относящейся к моменту времени или до него.

Определим СВ: , .

По определению

.

Смысл заключается в том, что эта величина явл. непредвиденным изменением цены актива между элементами и при фиксир. цене в момент времени .

Предположение 1: для каждого интервала времени от 0 до существует число независимое от числа интервалов торговли такое, что

, где .

Предположение 2: для каждого конечного интерв. времени от 0 до существует число независимое от числа интервалов торговли такое, что

.

Предположение 1 гарантирует, что неопределённость, связанная с непредвид. изменениями цен, не исключается при переходе к непрерывной торговли. Даже если , цена в конце периода в момент времени будет неопределённой в момент времени .

Предположение 2 гарантирует, что неопределённость, связанная с непредвиденным изменением цен на конечном промежутке врем. не на столько большая, чтобы дисперсия становилась неограниченной.

Пусть , , обозначает дисперсию денежного дохода актива на интерв. времени между моментами и и основанную на доступной информ. от момента времени 0.

Определим .

Предположение 3: существует число независим. от числа интервалов торговли такое, что для всех от 1 до :

.

Предположение 3 тесно связано с предположением 1 и исключает возможность того, что вся неопределённость непредвиденного изменения цены на сконцентрирована только в нескольких интервалах торговли, т.е. неопределённость цен порождается во всех периодах торговли.

Например, предположение 3 исключает лотерейные билеты с датой розыгрыша .