МТФР_EK_дневная / Электронные лекции МТФР / мат теория фин рисков / Глава 2_Экономические риски / 5. Распределение модели Блэка-Шоулса на случай выплаты дивидендов и изменения цены исполнения

5. Распределение модели Блэка-Шоулса на случай выплаты дивидендов и изменения цены исполнения.

Для того, чтобы анализировать влияние дивидендов на незащищенный опцион, полезно предположить, что процентная ставка является постоянной и известной. При этих предположениях

Условие (1) из предыдущего параграфа упрощается к виду:

(1)

Пусть будет дивидендом на долю акционерного капитала за единицу времени, когда цена акции равна и срок до истечения опциона равен . Если является мгновенной полной ожидаемой доходностью, как она опред. формулой, то мгновенная ожидаемая доходность от повышения бцены равна .

Поскольку не явл. стохастической, то будем записывать ф-цию цены опциона как .

Используем формулу Ито для вывода стох. дифф. ур-ние для цены опциона:

Получим ур-ние в частных для цены опциона:

(2)

с граничными условиями

для европейского опциона и дополнительное арбитражное граничное условие для американского опциона:

Уравнение (2) не будет иметь простого решения даже для европейского опциона.

Если существует положительная вероятность досрочного исполнения, тогда

для уровень цены акции такой, что для всех исполнение опциона приводило бы к большей выгоде, чем обладание им. Т.к. стоимость исполняемого опциона всегда равна , дополнительное граничное условие для уравнения (2):

(3)

где удовлетворяет ур-нию (2) для .

Поскольку владелец опциона не обязан исполнять свой опцион досрочно, он будет это делать только в собственных интересах (т.е. когда исполнение опциона дает больше, чем владение им). След-но, единственным рациональным выбором для является зависящая от времени функция, которая максимизирует стоимость опциона.

Пусть будет решение ур-ний (2) и (3) для данной функции . Тогда стоимость -годичного американского опциона

(4)

Далее из структуры задачи выясняется, что оптимальная будет независимой от текущего уровня цены акции.

Второй пример простой дивидендной стратегией – постоянная стратегия, когда , .

В отличие от предыдущей пропорциональной стратегии, досрочное исполнение может или не может встретиться в зависимости от значений , , и . В частности, достаточным условием для того, чтобы досрочное исполнение не встречалось, является условие .

Если оно выполняется, то решение для цены европейского опциона будет им и для американского опциона.

Для конечных решение в явной форме всё-таки не получается, а для бессрочного опциона при его можно получить.

Рассмотрим случай непрерывно изменяющейся цены исполнения , где предполагается дифференцируемой и убывающей ф-цией времени, оставшегося до погашения, т.е.

Цена опциона удовлетворяет ур-нию (2) при и подчиняется граничным условиям

и .