02-03-2014_18-23-44 / 10

«строго больше», а в миноре 13,2,3 – знак «строго меньше» и т.д. Таким образом,

достаточно проверить знаки только главных угловых миноров.

В случае двухфакторной ПФ аксиома строгой выпуклости вверх проверяется по следующим значениям миноров:

2

11 2x1f2 0, 12,2 2x1f2 2xf22 x12 fx2 0.

10.2. Производственная функция Кобба – Дугласа

Предприятие может производить некоторый набор видов продукции.

Однако ПФ отражает зависимость выпуска в целом от факторов производства,

как правило, по их укрупненным группам. Примером неоклассической модели производства является двухфакторная производственная функция Кобба – Дугласа (C.W. Cobb, P.H. Douglas, 1928).

Производственная функция Кобба – Дугласа отражает зависимость объема производства чистой продукции (чистого дохода) от количества используемых ресурсов труда и капитала (затрат на их использование) и

имеет мультипликативную форму. Она записывается в виде формулы y = а K L ,

где а – постоянный коэффициент, соответствующий совокупной эффективности факторов K и L в производстве (а > 0);

, – постоянные коэффициенты, которые характеризуют эффективность каждого ресурса отдельно ( , > 0, + = 1);

K – количество используемого капитала или плата за капитал;

L – количество используемого труда или плата за труд.

Проверим соответствие ПФ Кобба – Дугласа введенной ранее аксиоматике.

Проверка соответствия аксиоме 1.

244

Если K = 0, то y = a 0α L = 0, если L = 0, то y = a K 0β = 0.

Следовательно, функция соответствует аксиоме 1.

Проверка соответствия аксиоме 2.

Вычислим частную производную выпуска по фактору K: y/ K = a K - 1

L = a L /K . Коэффициенты а, , имеют положительное значение,

следовательно, при K, L > 0 значение y/ K > 0. При K = 0, L > 0 производной

y/ K не существует. Аналогично вычислим частную производную выпуска по

L: y/ L = K L - 1 = а K /L , следовательно, при K, L > 0 значение y/ L > 0. При L = 0, K > 0 производной y/ L не существует.

Так как частные производные выпуска по факторам производства имеют положительные значения, математическая формула ПФ Кобба – Дугласа соответствует аксиоме 2.

Проверка соответствия аксиоме 3.

Вычислим значение показателя степени однородности. Если начальный объем выпуска y = f (K, L) = а K L , то после увеличения факторов в λ раз получим выпуск

yλ = а (γ K) (γ L) = λ λ (а K L ) = γ1 (а K L ) = λ1 y.

Отсюда следует, что ПФ Кобба – Дугласа соответствует аксиоме 3 и имеет

показатель степени однородности m = 1. Значит, эта модель применима для случаев, когда эффективность использования ресурсов при увеличении масштаба производства не изменяется, расширение производства происходит без технологических и организационных инноваций.

Проверка соответствия аксиоме 4.

Матрица Гессе производственной функции Кобба – Дугласа имеет вид

Для проверки выпуклости поверхности вверх необходимо и достаточно

245

выполнения условий, сформулированных в предыдущем параграфе. Учитывая,

что α, β > 0 и α + β = 1, вычислим значения миноров при K > 0 и L > 0:

11 a ( 1)K 2L 0, 21 a ( 1)K L 2 0,

12,2 det H a2 K2( 1)L2( 1) (( 1)( 1) )

a2 K2( 1)L2( 1) (1 ( )) 0.

Отсюда следует, что при K > 0, L > 0 условия выпуклости вверх поверхности ПФ Кобба – Дугласа соблюдаются. Кроме этого условия строгой выпуклости вверх поверхности не выполнено.

10.3.Производственные функции

сразной взаимозаменяемостью ресурсов

Всвязи с изменением рыночных цен на ресурсы (арендной платы, средней ставки заработной платы и т.п.) у руководителей предприятия возникает желание использовать в производстве более дешевые ресурсы. Однако возможности замены ресурсов в различных случаях не одинаковы.

Например, в электроэнергетике вместо мазута можно применить газ.

Замена энергоносителей определяется по их теплотворности. При этом безразлично, каково соотношение расхода разных энергоресурсов. Иначе говоря, энергоресурсы применяют с постоянным коэффициентом замещения.

Вместе с тем нередки случаи, когда возможность взаимного замещения ресурсов отсутствует. Например, в машиностроении невозможно заменить обрабатывающие станки транспортными средствами. Эти два вида ресурсов дополняют друг друга.

Вопрос о равноценной (эквивалентной) взаимозаменяемости ресурсов удобно рассматривать на примере двухфакторных ПФ y = f(K,L), где K – размер используемого капитала, L – объем трудозатрат.

Определенное количество продукции можно произвести при различном

246

сочетании используемых ресурсов. Зависимость капитала от труда при постоянном выпуске продукции можно в общем виде выразить формулой K = ψ(L). Линия, соединяющая точки всевозможного сочетания используемых ресурсов (затрат на их оплату) при постоянном объеме производства продукции (дохода от ее реализации), получила название изокванты.

Возможные формы изоквант приведены на рис. 4.

Для упрощения изложения вопроса об эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов начнем с рассмотрения алгебраической формулы модели производства

в виде y = а K L.

Зафиксируем объем выпуска продукции y = y1. В этом случае формула изокванты приобретает конкретный вид: K = y1/(аL). Так как числитель – величина постоянная, то выведенная формула описывает обратную зависимость капитала от труда, графиком этой зависимости является гипербола. Если y1 =

100 ед., то при а = 1 и объеме трудозатрат L2 = 20 ед. потребуются капитал K2 =

5 ед., а при L1 = 8 ед. необходимо увеличение капитала до K1 = 12,5 ед. (за определенный период времени). Две изокванты разной кривизны изображены на рис. 2.4, а.

Рис. 4

Особенность изокванты состоит в том, что в любой ее точке уменьшение объема использования одного ресурса требует увеличения объема другого ресурса. График изокванты имеет форму, выпуклую к началу координат. При увеличении масштаба производства с пропорциональным ростом затрат

247

ресурсов изокванта смещается вправо вверх.

Задачи моделирования производства разнообразны, они различаются самими факторами производства, краткосрочным или долгосрочным характером отражения производства в модели. При этом важно отражение взаимозаменяемости ресурсов в соответствии с описанным в пункте 11.5

свойством производства. Широко применяют следующих четыре типа производственных функций с разным характером взаимозаменяемости ресурсов.

1. Мультипликативные производственные функции (МПФ)

В общем виде мультипликативная производственная функция имеет следующую математическую форму:

n

ya xi i

i 1

где а (а > 0), – постоянный коэффициент, соответствующий совокупной эффективности факторов производства, 0 < i < 1 – весовые коэффициенты. Ее частным случаем является ПФ Кобба – Дугласа.

2. ПФ с постоянной эластичностью замещения (ПЭЗ)

Производственная функция ПЭЗ имеет вид

n

где а0, bi, , m – постоянные коэффициенты, а0 > 0, bi 0, bi 1, > – 1, m >

i 1

0.

Функция ПЭЗ отличается тем, что в зависимости от значения параметров этой модели изокванта имеет различную кривизну.

Двухфакторная модель, имеющая изокванту, выпуклую к началу координат, отражает, например, столярное производство. Для изготовления заданного количества продукции можно увеличить количество станков либо недостаток станков компенсировать привлечением большего количества

248

рабочих, производящих продукцию вручную. Взаимозаменяемость станков рабочими при постоянном объеме выпуска выражается изоквантой, выпуклой к началу координат. Кривизна изокванты зависит от конкретного производства.

Две изокванты, имеющие разную кривизну, изображены на рис. 4,а.

Выпуклую к началу координат форму имеют все изокванты мультипликативных производственных функций, включая ПФ Кобба – Дугласа,

а также функция с постоянной эластичностью замещения.

3. Линейные производственные функции (ЛПФ)

Следующий тип ПФ – линейная производственная функция, которая выражается математической формулой

n

yai xi , i 1,...,n,

i 1

где аi – постоянные неотрицательные коэффициенты.

В случае ЛПФ предполагается, что ресурсы производства замещаются с постоянным коэффициентом замещения при любом сочетании их использования. График изокванты для двухфакторной ЛПФ показан лин. 2 на рис. 4,б.

4. ПФ с взаимно дополняемыми ресурсами (ПФВДР) (с постоянными

пропорциями, ПФПП)

Другой тип ПФ – функция с взаимно дополняемыми ресурсами – записывается в виде

и предусматривает полное отсутствие возможности замещения ресурсов производства. График ее изокванты для двухфакторной ПФ показан лин. 1 на рис. 4,б.

Процесс взаимозаменяемости ресурсов отражается изоквантой в форме двух лучей, параллельных осям координат и выходящих из одной точки. Случай с взаимно дополняемыми ресурсами можно объяснить на примере рабочих в

249

машиностроительном производстве с закреплением станков за каждым рабочим. При комплектности станков и рабочих оба ресурса используют с максимальной отдачей. Такому соотношению ресурсов соответствует

эффективная точка а, лин. 1 на рис. 4,б. Дополнительный прием рабочих не принесет увеличения выпуска продукции, а соотношение ресурсов изменится,

что иллюстрирует точка в. Аналогичный результат будет получен, если увеличивать число станков без обеспечения рабочей силой.

Следует отметить, что производственные функции ЛПФ и ВДР отражают два предельных варианта изменения кривизны изокванты. Их математическая форма не соответствует аксиоматике, введенной ранее.

10.4. Числовые характеристики: предельные и средние продукты,

эластичности: выпуска по факторам

Производительность ресурсов оценивается при помощи показателей отдачи. В микроэкономике понятие отдачи ресурсов специфично. В этом понятии с одной стороны выступает выпуск продукции (или его денежное выражение: доход, объем реализации), с другой – количество используемых ресурсов (или оплата их приобретения) за некоторый период времени.

Показатели отдачи ресурсов выражают экономическую эффективность от их введения в производство. Они конкретизируют общее представление о соответствующих показателях.

Широко применяют показатели отдачи ресурсов трех типов:

•средняя отдача ресурсов производства,

•предельная отдача ресурсов производства,

•эластичность выпуска по ресурсам производства.

Все показатели производительности факторов вычисляют при изменении только одного ресурса.

Введем математические формулы этих показателей и рассмотрим их

250

вычисление в случае двухфакторной производственной функции, отражающей зависимость выпуска продукции от вектора используемых ресурсов.

Средний продукт (средняя отдача) ресурса вычисляется делением объема выпуска на величину использования каждого ресурса. В случае двухфакторной ПФ применяют следующие формулы:

•средний продукт капитала –

λK = Y /K,

•средний продукт труда –

λL = Y /L.

Поясним смысл показателя среднего продукта капитала с помощью графика зависимости выпуска продукции y от использования капитала K при постоянном значении L (рис. 5).

При выпуске y1 используют капитал в количестве K1, средний продукт равен y1/K1. При выпуске y2 используемый капитал составляет K2, а средний продукт капитала – y2/K2. Выпуск продукции и используемый капитал относятся к числу интервальных показателей.

Y

Y2

Y

Y1

Рис. 5

Графически этот показатель равен тангенсу угла наклона луча,

проходящего через начало координат и точки определения показателя (K1, y1)

или (K2, y2) и т.д. Период времени, в течение которого выпускают продукцию и

251

используют ресурсы, один и тот же.

Итак, средний продукт капитала определяет объем выпуска продукции на каждую единицу используемого капитала за некоторый период времени.

Аналогичным образом вводится показатель среднего продукта труда,

который выражает объем выпуска продукции на каждую единицу используемого труда.

Таким образом, средняя отдача (средний продукт) ресурса – это количество выпускаемой продукции на единицу соответствующего ресурса,

используемого в производстве.

Используя математическую формулу ПФ Кобба – Дугласа, эти показатели можно вычислить аналитически. Средняя отдача ресурсов определяется по следующим формулам.

Средний продукт капитала – по формуле

λK = а K L /K = а L /K1 - = а L /K = а (L/K) .

Если обозначить отношение используемого капитала к трудозатратам буквой , то получим формулу

λK = а (L/K) = а / .

Средний продукт труда имеет вид

λL = аK L /L = аK /L1 - = аK /L = а(K/L) = а .

Предельный продукт (предельная отдача) ресурса вычисляется по формуле частной производной производственной функции по фактору производства. Для двухфакторной ПФ применяют следующие формулы:

•предельный продукт капитала –

µK = y/ K,

•предельный продукт труда –

µL = y/ L.

Поясним смысл показателя предельного продукта капитала при помощи графика (см. рис. 6). Графически предельный продукт капитала равен тангенсу

252

угла наклона касательной к линии выпуска в точке определения показателя.

Если зависимость выпуска от фактора задана дискретно и прирост выпуска

y требует дополнительного использования капитала в количестве K, то предельную отдачу вычисляют по формуле µK = y/ K. Пределом этого отношения при K → 0 является выражение y/ K. Аналогично вычисляется предельный продукт труда.

Таким образом, предельный отдача ресурса выражает прирост выпускаемой продукции на единицу прироста соответствующего ресурса,

используемого в производстве.

Применительно к ПФ Кобба – Дугласа можно вывести следующие формулы предельной отдачи ресурсов:

предельный продукт капитала –

µ K = y/ K = а K -1L = а L /K = а / ;

предельный продукт труда –

µL = y/ L = а K L -1 = а K /L = а .

Рассмотрим соотношение средней отдачи капитала λK = a/φβ и предельной отдачи капитала µK = aα/φβ. Из этих формул следует, что µK = aλK. Вместе с тем

0 1, следовательно, µK < λK. Аналогично из уравнений µL = aβφα и λL = aφα

следует, что µL = βλL. Учитывая, что 0 1, получаем соотношение µL < λL.

Иначе говоря, в модели Кобба – Дугласа предельные продукты капитала и труда имеют меньшие значения, чем средние продукты этих ресурсов производства.

Эластичность выпуска по ресурсу производства В случае задания ПФ в виде математической формулы вычисляют

показатели точечной эластичности выпуска по ресурсам производства.

Точечная эластичность вычисляется при помощи дифференцирования. Если задана двухфакторная ПФ, то применяют следующие формулы:

• эластичность выпуска по капиталу –

253