02-03-2014_18-23-44 / 10

а) функция является выражением зависимости между вектором ограничений и значением целевой функции в задаче линейного программирования

d11y1 d12 y2 ... d1k yk x1,d21 y1 d22 y2 ... d2k yk x2,

y b1y1 b2 y2 ... bk yk max,

где d11,…, d2k , b1,…, bk – положительные константы, зависящие от a11,…, ak2 ; y1, y2 – переменные;

б) предельная производительность по первому (второму) фактору представляет собой неубывающую (соответственно невозрастающую)

многоступенчатую функцию от x1 / x2 с нулевым нижним уровнем.

Функцию линейного программирования имеет смысл использовать в тех случаях, когда выпуск продукции является результатом одновременного функционирования k фиксированных технологий, использующих одни и те же ресурсы. Иногда функции типа Леонтьева и функции линейного программирования оказывается возможным построить без статистического оценивания параметров, на основе нормативно-технической информации.

Приведенный перечень видов производственных функций содержит лишь наиболее известные классы функций. Их список постоянно пополняется, в

практику моделирования вводятся все более сложные, гибкие производственные функции.

Укажем некоторые пути обобщения приведенных видов функций.

1.Отказ от предположения об однородности. Из приведенных функций неоднородной являются только функции (3), (7) и (8). Общий вид неоднородной функции CES не совпадает с (5) и включает кроме неопределенных параметров неопределенные функции.

2.Отказ от предположения о постоянстве эластичности замены факторов.

Переменную (в зависимости от уровня факторов) эластичность замены

274

факторов имеют функции LES, Солоу, Аллена, ограниченная функция CES,

многорежимная и функция линейного программирования. Общий вид однородной и неоднородной функции с переменной эластичностью замены

(функции VES) известен.

3. Отказ от явной записи производственной функции.

Здесь можно отметить функцию, аналогичную функции Кобба-Дугласа с параметрами, зависящими от объема выпуска; функцию CRESH, являющуюся решением функционального уравнения

где h(y) – заданная непрерывно дифференцируемая функция, для которой

h(0) 0, h (0) 0.

4. Применение арифметических операций и операций подстановки.

Новые виды функций образуются, например, путем перемножения функции Кобба-Дугласа и функции CES

y ax1 x2 b1x1 b2x2 m

(функция Сато (R. Sato)). Используя операцию подстановки одной функции

CES в качестве фактора для другой, получаем двухуровневую функцию CES и

т.д.

5. Использование различных шкал измерения переменных. Возникающие при этом возможности изучены.

275

Задачи

Задача 1. Проверить аксиомы 1-3 для следующих функций:

1)y a0 a1x1 a2x2 ;

2)y 3x1x2 2x12 x22 ;

3)y 3x1x2 2x12 2x22 ;

4)y 10(x1 2 2x22 )2 ;

5)y a0 x1x2 a1x12 a2x22 ;

6)y min x1m,x2m .

Задача 2. Проверить свойство выпуклости для функции y AK L в

следующих значениях параметров:

1)[0,1], [0,1], 1;

2)(0,1), (0,1), 1;

3)(0,1), (0,1), 1;

4)(0,1), (0,1), 1;

5)0, (0,1), 1;

6)0, 1, 1;

7)1, 0, 1.

Задача 3. Проверить свойство выпуклости для следующих функций:

1)y a0 a1x1 a2x2 ;

2)y 3x1x2 2x12 x22 ;

3)y 3x1x2 2x12 2x22 ;

4)y 10(x1 2 2x22 )2 ;

5)y a0 x1x2 a1x12 a2x22 ;

6)y min x1m,x2m .

276

Задача 11. Найти пределы:

1)lim A(bx1 1 b2x2 ) m/ ;

1

2)limA(bx1 1 b2x2 ) m/ ;

0

3)lim A(bx1 1 b2x2 ) m/ ;

4)lim A(bx1 1 b2x2 ) m/ .

Задача 12. Найти уравнений изоклинали, проходящей через точку (K0;L0) для следующих функций:

1)F(K,L) 10K1/2L3, (K0,L0) (3,2);

2)F(K,L) 5 2K L, (K0,L0) (5,3);

3)F(K,L) 3KL K2 2L2 , (K0 ,L0 ) (5,7) ;

4)F(K,L) (2K 1 3L 1) 2 , (K0,L0) (2,1);

5)F(K,L) AK L , (K0;L0).

1)y 10x1x24 ;

2)y 3x1 2x2 ;

3)y 3x1 2x2 5;

4)y 3x1x2 2x12 x22 ;

5)y 10(x1 2 2x22)2 .

278

Список литературы к § 10

1.Ашманов С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашманов. –

М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – Часть III, Глава 1. § 7.

2.Багриновский К.А. Экономико-математические методы и модели

(микроэкономика): Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. / К.А.

Багриновский, В.М. Матюшок. – М.: Изд-во РУДН, 2006. – Глава IV.

3.Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста /Н.Б. Баркалов. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. – 128 с.

4.Батищева С.Э. Математические модели микроэкономики: Учеб.

пособие.– 2-е изд., перераб. и доп. / С.Э. Батищева, Э.Д. Каданэр, П.М.

Симонов. – Пермь: Перм. гос. ун-т, 2006. – Глава 2.

5.Березнева Н.А. Математические модели экономики: сборник задач: учеб.

пособие для вузов / Отв. ред. д.э.н. Г.М. Мкртчян / Н.А. Березнева, А.В.

Комарова. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. – 143 с.

6.Гранберг А.Г. Моделирование модели социалистической экономики:

Учеб. пособие для экон. вузов и фак. / А.Г. Гранберг. – М.: Экономика, 1978. – 352 с.

7.Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства: Учеб. пособие для студ. вузов, обучающихся по спец. «Экон. кибернетика» / А.Г.

Гранберг. – М.: Экономика, 1985. – 240 с.

8.Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики: Учебник для студ. экон. Вузов / А.Г. Гранберг. – М.: Экономика, 1988. – 488 с.

9.Гришин А.Ф. Статистические модели в экономике: Учеб. пособие / А.Ф.

Гришин, С.Ф. Котов-Дарти, В.Н. Ягунов. – Ростов н/Д: «Феникс», 2005. –

Сер. «Высш. образ.». – Глава 4, 4.1.

10.Гришин А.Ф. Статистические модели: построение, оценка, анализ: Учеб.

пособие / А.Ф. Гришин, Е.В. Кочерова. – М.: Финансы и статистика, 2005.

– Глава 4, 4.1.

279

11.Замков О.О. Математические методы в экономике: Учеб. / Под общ. ред.

д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд.,

стереотип. / О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. – М.:

Изд.-во «Дело и Сервис», 2004. – (Учеб. МГУ им. М.В. Ломоносова). –

Глава 10.

12.Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике / Ю.П. Иванилов,

А.В. Лотов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1979. – 304 с. 13.Интрилигатор М. Математические методы в оптимизации и

экономическая теория / Пер. с англ. Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана / М.

Интрилигатор. – М.: Айрис-Пресс, 2002. – Глава 8, 8.1.

14.Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение /

Г.Б. Клейнер. – М.: Финансы и статистика, 1986. – 240 с.

15.Колемаев В.А. Математическая экономика. Учеб. для студ. вузов, обуч. по экон. спец. – 3-е стереотип. изд. / В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – Глава 1.

16.Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. – 5-е изд., перераб. и доп. / Л.И.

Лопатников. – М.: Дело, 2003. – 520 с.

17.Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование / А.В.

Лотов. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – 392 с.

18.Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учеб.-прак.

пособие для вузов / В.И. Малыхин. – М.: Изд-во УРАО, 1998. – Тема 2, 2.1.

19.Матвеенко В.Д. Модели экономической динамики. Учеб. пособие / В.Д.

Матвеенко. – СПб.: СПб. филиал ГУ-ВШЭ, 2006. – 108 с. 20.Математическая экономика на персональном компьютере: пер. с яп. / М.

Кубонива, М. Табата, С. Табата, Ю. Хасэбэ; Под ред. М. Кубонива; Под ред. и с предисл. Е.З. Демиденко. – М.: Финансы и статистика, 1991. –

Глава 2, 2.2.

280

21.Моделирование народнохозяйственных процессов: Учеб. пособие / Под ред. И.В. Котова. – 2-е изд., испр. и доп. – Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1990. – Глава 1, § 4.

22.Моделирование экономических процессов: Учеб. для студ. вузов, обуч. по спец. экон. и упр. (060000) / Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой,

Ю.Н. Черемных. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – Глава 3.

23.Плакунов М.К. Производственные функции в экономическом анализе /

М.К. Плакунов, Р.Л. Раяцкас. – Вильнюс: Минтис, 1984. – 310 с. 24.Сюдсетер К. Справочник по математике для экономистов / Пер. с

норвежск. Под ред. Е.Ю. Смирновой / К. Сюдсетер, А. Стрём, П. Берк. –

СПб.: Экономическая школа, 2000. – Глава 25.

25.Терехов Л.Л. Производственные функции / Л.Л. Терехов. – М.:

Статистика, 1974. – 128 с. – Сер. «Мат. статистика для экон.».

26.Хеди Э. Производственные функции в сельском хозяйстве / Пер. с англ. /

Э. Хеди, Д. Диллон. – М.: Прогресс, 1965. – 600 c.

27.Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учеб. / Ю.Н.

Черемных. – М.: ИНФРА-М, 2008. – (Учеб. экон. фак. МГУ им. М.В.

Ломоносова). – Глава 6.

28.Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели: Учеб.

пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. / С.И. Шелобаев. – М.:

ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – Глава 1.

29.Шуликовская В.В. Математическая экономика / В.В. Шуликовская. – М.-

Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Ин-т компьютер.

исслед., 2006. – 96 с.

30.Экономико-математическое моделирование: Учебник для студентов вузов

/ Под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Изд-во «Экзамен», 2004. –

Глава 7.

281

31.Экономико-математический энциклопедический словарь / Гл. ред. В.И.

Данилов-Данильян. – М.: Большая Российская энциклопедия: Изд. Дом

«Инфра-М», 2003. – 668 с.

32.Berry A. The Pure Theory of Distribution // British Association of Advancement of Science: Report of the 60th Meeting, 1890. / A. Berry. – London, 1893. – P. 923-924.

33.www. economus.ru. 50 лекций по микроэкономике. Лекция 22. Раздел 4.

282