02-03-2014_18-23-44 / 10

§ 10. Производственные функции, основные виды

Рассмотрим такие свойства производственной деятельности предприятия в целом, которые необходимо отражать в математических моделях производства.

Эти свойства выявлены в результате многочисленных эмпирических исследований экономики в рыночных условиях.

Для изготовления продукции требуются производственные ресурсы. В

процессе производства можно установить зависимость выпуска продукции от необходимых для этого ресурсов. Выпуск продукции может быть измерен в натуральных или денежных единицах (объем реализации, доход). Продукцию продают на товарном рынке. Объем выпускаемой продукции зависит от количества ресурсов, востребованных для производства. Ресурсы производства также могут быть измерены либо в натуральных, либо в денежных единицах.

Ресурсы покупают на рынках факторов производства, а объемы использования ресурсов зависят от меняющейся на каждый из них цены. В рыночных условиях происходит динамичное изменение цен на продукцию и на ресурсы производства.

Математическая модель в виде формулы зависимости выпуска продукции

(дохода) от вектора затрачиваемых или используемых в производстве ресурсов

(затрат на их покупку) получила название производственной функции (ПФ).

Применяемое для выпуска продукции количество ресурсов или их оплата

являются факторами производства. Конкретная формула и параметры этой модели определяются типом производства, существующим уровнем технологий и управления, техническими и экономическими знаниями персонала, умением предпринимателей организовать бизнес и т.д.

Сформулируем свойства реального производства, которые должны быть отражены в производственной функции.

234

Предприниматели заинтересованы в максимальном эффекте от использования ресурсов. Неэффективное использование ресурсов предприниматели и менеджеры предприятия, как правило, не допускают.

Поэтому ПФ отражает зависимость максимально возможного выпуска продукции от ресурсов, введенных в производство. Это закон эффективного ведения хозяйства. В микроэкономической теории принято считать, что ПФ определены принципиальные границы максимально возможного выпуска продукции. В макроэкономике такое понимание не совсем корректно:

возможно, при другом распределении ресурсов между структурными единицами экономики выпуск мог бы быть и большим. В этом случае ПФ – это статистически устойчивая связь между затратами и выпуском.

Выявлено, что в микроэкономике максимально возможный выпуск продукции происходит при любом сочетании применяемых ресурсов. Дорогие ресурсы предприниматели стремятся заменить более дешевыми. Каждый вид ресурсов используют рационально, избыточные ресурсы продают (лишних работников увольняют).

ПФ должна отражать зависимость выпуска продукции от использования ресурсов при наиболее эффективном их применении. Отсюда следует, что она должна быть однозначной детерминированной функцией (не случайной, не размытой) выпуска продукции от факторов производства. Сам факт зависимости выпуска продукции y от факторов производства x формализуют в виде формулы

y = f(x),

где x =col{x1, …, xn}, xi – количество или стоимость используемых ресурсов производства i-го вида, i = 1, 2, ..., n, n – число ресурсов.

При отсутствии хотя бы одного ресурса производство невозможно, т. е.

выпуск отсутствует.

Увеличение количества любого ресурса не может приводить к снижению объема выпуска продукции. Дополнительное применение любого ресурса в

235

случае угрозы сокращения выпуска продукции предприниматели в принципе не допускают.

Увеличение масштабов производства путем дополнительного привлечения всех ресурсов может происходить с различной степенью эффективности. При увеличении масштаба производства отдача ресурсов у одних предприятий может увеличиваться, у других – сокращаться, у третьих – оставаться без изменения.

ПФ связывает выпуск продукции с использованием взаимозаменяемых ресурсов. При фиксированном объеме выпуска продукции характер замещения одного ресурса другими имеет свои особенности, он зависит от типа моделируемого производства. Например, на электростанции возможна полная замена некоторых видов энергоносителей (топочного мазута газом, если для этого приспособлено оборудование). В других случаях происходит постепенное или частичное замещение ресурсов. Например, в машиностроительном производстве обычные станки можно заменить станками с числовым программным управлением. Тогда определенное количество деталей будет изготавливаться меньшим количеством рабочих, но увеличится стоимость ОПФ. Наконец, в ряде случаев замещение ресурсов в принципе невозможно.

Например, трудовые ресурсы невозможно заменить сырьевыми ресурсами, эти ресурсы взаимно дополняют друг друга.

Одновременно с замещением ресурсов может происходить изменение выпуска продукции. Поэтому конкретная формула ПФ должна правильно отражать специфику увеличения выпуска и замещения ресурсов для каждого типа производства.

Факторами воздействия на производство являются только такие ресурсы,

которые необходимо оплачивать. Фактор времени при этом в ПФ в явном виде отсутствует. Однако он очень важен, так как при помощи применяемых в настоящее время технологий за год можно выпустить одно количество продукции, а после введения новых технологий и организации производства

236

при тех же затратах на оплату ресурсов можно произвести значительно больше продукции. Поэтому различают ПФ, которые отражают производство в

краткосрочном или в долгосрочном периоде. В краткосрочном периоде возможно замещение только особо «подвижных» ресурсов. К числу наиболее динамичных ресурсов можно отнести различные виды сырья и материалов. В

долгосрочном периоде может происходить обновление всех ресурсов, в том числе замена технологических способов производства под воздействием научно-технического прогресса (НТП). Как правило, изменение технологических способов связано с реконструкцией предприятия и требует значительного времени. При этом ярко проявляется тенденция замещения трудовых ресурсов более производительным оборудованием, живого труда овеществленным.

Формула y = f(x), где x = col{x1, …, xn} математически свидетельствует о соблюдении в производстве описанных выше свойств. Область определения такой функции 0 ≤ xi ≤ xim при любом i = 1, 2, ..., n; xim – правая граница области. Математический вид этой формулы должен отражать конкретные производства в соответствии с задачами ее применения.

В различных вариантах ПФ в качестве факторов производства выступают такие наборы ресурсов, которые соответствуют задачам экономических исследований. Если факторами производства являются основной капитал (x1 (=

K) – объем используемого в течение года основного капитала), живой труд (x2

(= L) – количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда),

исчисляемого обычно в стоимостном выражении, то такая двухфакторная функция y = f(K, L) принимает вид зависимости той доли выпуска продукции y,

которая получена в результате затрат на использование основного капитала K и

на оплату труда L. Величина y называется чистым продуктом (чистым доходом от его реализации).

ПФ могут иметь разные области использования. Принцип «затраты –

237

выпуск» может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом

уровне. Сначала остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у = f(x)

может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого вектора ресурсов x = col{x1, … ,xn} в

течение года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) – имеем

микроэкономическую ПФ (МИПФ). На микроэкономическом уровне в роли

производственной системы может выступать также отрасль, межотраслевой производственный комплекс. МИПФ строятся и используются в основном для решения задач анализа и планирования, а также задач прогнозирования.

ПФ может быть использована для описания взаимосвязи между годовыми затратами труда в масштабе региона или страны в целом и годовым конечным выпуском продукции (или доходом) этого региона или страны в целом. Здесь в роли производственной системы выступает регион или страна в целом (точнее

хозяйственная система региона или страны) – имеем макроэкономический

уровень и макроэкономическую ПФ (МАПФ). МАПФ строятся и активно используются для решения всех трех типов задач (анализа, планирования и прогнозирования).

Точное толкование понятий затрачиваемого (или используемого) ресурса и выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых (с

помощью ПФ) задач (аналитических, плановых, прогнозных), наличия исходных данных. На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах (объем человеко-часов – натуральный показатель) или в рублях выплаченной заработной платы (ее величина – стоимостный показатель); выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах (тоннах, метрах и

238

т.п.) или в виде своей стоимости.

На макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные

(ценностные) агрегаты, т.е. суммарные величины произведений объемов затрачиваемых (или используемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

10.1. Аксиомы (свойства)

Модель производства в виде ПФ должна отвечать двум группам требований. С одной стороны, она должна отражать свойства реального производства, которые сформулированы в предыдущем параграфе. Вместе с тем необходимо, чтобы формула ПФ соответствовала определенным требованиям неоклассической экономической теории, которые сформулированы в форме следующей системы аксиом. Аксиоматика моделирования производства в математической форме выражает общие свойства производства.

Функция выпуска от факторов производства должна быть дважды непрерывно дифференцируемой. Требование дифференцируемости вызвано тем,

что по значению первой производной выявляется соответствие ПФ аксиоме 2,

вторые производные позволяют проверить соответствие аксиоме 4.

Аксиома 1. При отсутствии хотя бы одного ресурса производство невозможно, т. е. выпуск отсутствует.

Зависимость выпуска продукции y от факторов производства x = col{x1, … ,xn} выражает формула y=f(x). В случае, если xi = 0 хотя бы для одного i = 1, 2,

... , n, то согласно сформулированной аксиоме получаем выпуск y = 0.

Соответствие этому требованию означает, что математический вид формулы у = f(x) не может иметь свободного члена (не зависящего от x1, x2, …, xi, … ,xn). Наличие свободного члена означало бы, что выпуск возможен при

239

нулевых значениях всех факторов.

Аксиома 2. Увеличение количества любого ресурса не может приводить к снижению объема выпуска продукции. Иначе говоря, выпуск продукции при дополнительном использовании малой единицы i-го ресурса производства не может быть меньше нуля. Эту аксиому записывают в следующей математической форме: y/ xi ≥ 0, i = 1, 2, ... , n.

Если же наблюдается неравенство y/ xi < 0, то при дополнительном применении малой единицы i-го ресурса объем выпуска продукции снижается.

В этом случае предприниматели отказываются от увеличения выпуска продукции за счет дополнительного привлечения i-го ресурса. Равенство у/ xi

= 0 определяет границу зоны производственной деятельности предприятия,

которая называется экономической областью. Следовательно, экономическая область определяется системой неравенств y/ xi ≥ 0, i = 1, ... , n.

Аксиома 3. Увеличение масштаба производства происходит с некоторой степенью однородности.

Математически степень однородности определяется следующим образом.

Если зависимость выпуска продукции от факторов производства формализовать в виде y = f(x), x = col{x1, … ,xn}, i = 1, ... ,n, то рост масштаба производства означает пропорциональное увеличение значения всех факторов в λ (λ > 1) раз,

факторы становятся равными λx. При этом выпуск продукции увеличится до yλ.

Формулу выпуска продукции после увеличения масштаба производства можно записать в следующем виде:

yλ = f(λ x) = λm f (x),

где m – показатель степени однородности.

Следовательно, степень однородности производственной функции отражает эффект от изменения масштаба производства. Одинаковое увеличение масштаба разных производств может давать не одинаковый прирост выпуска продукции. Иначе говоря, рост масштаба производства может

240

происходить с различной эффективностью. Отдача ресурсов при увеличении масштаба производства у одних предприятий может увеличиваться, у других – сокращаться, у третьих – оставаться без изменения.

Если показатель степени однородности m >1, то увеличение масштаба производства обеспечивает рост эффективности ресурсов. Если 0 < m < 1, то увеличение масштаба производства продукции уменьшает эффективность ресурсов. В случае m = 1 эффективность ресурсов не меняется, т. е. при увеличении масштаба производства происходит без изменения производительности ресурсов. Итак, если m = 1, то при увеличении значений факторов в λ раз выпуск продукции достигнет

yλ = f(λ x) = λ f(x) = λ y.

Значит, эффективность применения ресурсов не изменится.

Чем существеннее увеличение производительности дополнительно вводимых ресурсов, тем выше значение показателя степени однородности. Если m >1, то при увеличении значения всех факторов в λ раз объем производства возрастет больше чем в λ раз.

Аксиома 4. График поверхности производственной функции является выпуклым вверх.

При росте выпуска продукции может происходить не только увеличение количества используемых ресурсов, но и изменение их структуры, т. е. один вид ресурса может частично замещаться другими видами. Например, при замене станков более производительными стоимость оборудования может увеличиться в большей мере, чем численность рабочих. Иными словами, при совокупном приросте использования ресурсов живой труд можно наращивать меньше, чем капитал.

По любым трем точкам xA, xB и xC в многомерном пространстве факторов производства выпуклость вверх определяется неравенством

f(xC) ≥ α f(xA) + β f(xB),

где xC = α xA + β xB при любых 0 ≤ α, β ≤ 1, α + β = 1; xA ≥ 0, xB ≥ 0 и xA ≠ xB.

241

Неравенство xA ≥ xB означает xiA xiB для всех i = 1, … ,n.

Определение строгой выпуклости вверх отличается только тем, что в f(xC) ≥

α f(xA) + β f(xB) знак неравенства требуется заменить на знак «строго больше» при 0 < α, β < 1, α + β = 1.

Применительно к двухфакторной функции y = f (x1, x2) выпуклость вверх показана на рис. 1. Поверхность, отражающая функцию, пересекается вертикальной плоскостью по линии, проходящей через точки A, B и C. Точки

или |C,xC |. Длина отрезка |C,xC | равна правой части неравенства f(xC) ≥ α f(xA) + β f(xB). Очевидно, что это соотношение выполняется в варианте «строго больше».

Для иллюстрации замещения ресурсов при изменении выпуска продукции на рис. 2 показаны линии пересечения поверхности горизонтальными плоскостями на уровне объема выпуска yА и yB. Любая точка кривой 1

соответствует набору ресурсов для выпуска продукции yА, а кривой 2 – набору

обозначен жирной стрелкой.

242

y

10.1.1. Математическая проверка соответствия ПФ аксиоме 4

Математически аксиома 4 проверяется с помощью матрицы Гессе (L.O. Hesse) (матрицы вторых производных ПФ), которая имеет вид

Для выпуклости вверх поверхности ПФ в области определения необходимо и достаточно, чтобы главные нечетные миноры, начиная с первого порядка,

матрицы H были не больше нуля, а главные четные миноры, начиная со второго

Достаточное условие строгой выпуклости вверх состоит в том, что в миноре 11 должен быть знак неравенства «строго меньше», в миноре 12,2 – знак

243