02-03-2014_18-23-44 / 10

Точечную эластичность y по K можно представить в логарифмической

форме: EKy = (ln y)/ (ln K).

В случае дискретных данных вычисляют показатели дуговой (средней)

эластичности выпуска по ресурсам по формулам:

• эластичность выпуска по капиталу –

EKy = ( y / K)/(yс/Kс);

• эластичность выпуска по труду –

ELy = ( y / L)/(yс/Lс),

где yс = (y2 + y1)/2, Kс = (K2 + K1)/2, и Lс = (L2 + L1)/2.

Показатель эластичности выпуска по фактору производства выражает предел отношения прироста выпуска к приросту использования соответствующего ресурса.

Выведем формулы для вычисления показателей эластичности для ПФ Кобба – Дугласа.

Эластичность выпуска по капиталу выводится следующим образом:

EKy = λ K / µK = (а / )/(а / ) = .

Эластичность выпуска по труду

ELy = λ L / µL. = (а )/(а ) = .

Следовательно, эластичности выпуска по капиталу и по труду определяются значением параметров модели и соответственно.

Так как 0 , 1, то один процент дополнительного использования каждого отдельного ресурса приносит прирост выпуска продукции меньше чем на один процент.

Следует заметить, что все показатели отдачи ресурсов на практике можно вычислять на основании непосредственного учета значений величин y, K и L.

254

Математического моделирования производства в виде производственной

функции при этом не требуется.

10.5. Предельная норма замещения факторов, эластичность замещения

факторов

В целях экономического анализа по изокванте K = ψ(L) при y = const

можно вычислить три типа показателей: средние, предельные и эластичности.

В неоклассической экономической теории изокванты согласно аксиоме 4

имеют вид, выпуклый к началу координат, как показано на рис. 4,а.

Средний показатель, или соотношение используемых ресурсов,

определяется, как отношение оплаты капитала к оплате трудозатрат

=K/L. В точке 1 (рис. 4,а) отношение этих факторов составляет 1 = K1/L1, в

точке 2 соответственно 2 = K2/L2.

Средний показатель по форме совпадает с показателем фондовооруженности. Однако по экономическому содержанию он выражает не количество капитала, приходящееся на одного работника (отношение моментных величин), а количество капитальных затрат на единицу трудозатрат за некоторый период времени (отношение интервальных величин).

Предельный показатель. Предельным показателем является предельная норма замещения факторов h. Предельная норма замещения трудозатрат капитальными издержками показывает прирост затрат на оплату капитала на один рубль прироста трудозатрат при неизменном объеме производства продукции. Он вычисляется по формуле h = – dK/dL при y = const и всегда имеет неотрицательное значение. Величина h равна тангенсу острого угла наклона касательной к изокванте в точке определения, для которой вычисляется этот показатель. Поскольку в мультипликативных ПФ изокванта имеет некоторую кривизну, то предельная норма взаимозаменяемости в разных точках изменяет

255

свое значение. Для ПФ ВДР и ЛПФ показатель предельной нормы взаимозаменяемости не применяют.

Эластичностью замещения ресурсов является своеобразный показатель,

вычисляемый как эластичность показателя по предельной норме замещения h. Его формула имеет вид

= d /dh h / .

Для вычисления показателя эластичности в случае ПФ Кобба – Дугласа сначала нужно вывести функциональную зависимость от h, затем продифференцировать ее по h и подставить в формулу эластичности. Для ПФ ВДР и ЛПФ показатели эластичности взаимозаменяемости ресурсов равны: σ =

0 и σ = ∞.

Представим h = – dK/dL по теореме о дифференцировании неявно заданной функции в виде

h = ( y/ L)/( y/ K),

где y/ L и y/ K – предельные продукты факторов L и K соответственно.

Подставим их значения в формулу для h и выведем функциональную зависимость показателя h от величины :

h = yL/yK = (а )/(а / ) = ( / ) ( ) = ( / ) .

Результат вычисления можно записать в виде

= ( / ) h.

Дифференцируя эту функцию по h, получаем d /dh = / .

Вместе с тем формулу = ( / ) h можно записать в виде h / = / .

Подставив выражения d /dh = / и h / = / в формулу эластичности h

=( y/ L)/( y/ K) получаем

= d /dh h / = ( / ) ( / ) = 1.

256

продукции единичный прирост использования одного ресурса дает большее увеличение выпуска, чем такой же прирост этого ресурса при больших выпусках продукции.

Этот закон можно выразить иначе: если в производстве продукции используют малое количество ресурса, то на дополнительную единицу этого ресурса прирост выпуска продукции больше, чем в случае использования большего количества этого ресурса.

После прекращения прироста может происходить уменьшение выпуска,

как показано на рис. 6,а. Изменение ресурса, при котором прирост ресурса не приводит к уменьшению выпуска продукции, называют экономической областью.

Подчеркнем, что закон убывающей отдачи проявляется, если происходит

изменение только одного ресурса, остальные условия производства сохраняются без изменения.

Вместе с тем эмпирически установлено, что закон убывающей отдачи действует не во всей экономической области, а с некоторым отступлением от начала координат. При малых значениях ресурсов происходит прирост предельных продуктов. Эта особенность просматривается на рис. 6,а до первой пунктирной линии при L = 2.

Рис. 6

258

Все мультипликативные ПФ, у которых степень однородности меньше единицы, отражают производство с соблюдением закона убывающей отдачи.

Приведем математическое доказательство соблюдения этого закона в случае моделирования производства в виде ПФ Кобба – Дугласа. Для доказательства покажем, что с увеличением значения одного фактора уменьшается темп роста предельного продукта этого фактора.

Если зафиксировать постоянное значение фактора K и принять обозначение А = a K , то ПФ Кобба – Дугласа приобретает вид

y = А L , 0 1.

В связи с тем что А > 0, объем выпуска продукции y с увеличением значения L растет.

Определим формулу темпа прироста предельного продукта труда в случае применения ПФ Кобба – Дугласа. Предельный продукт труда вычисляется по формуле dy/dL. Темп прироста предельного продукта труда выражается отношением (dy/dL)/y. Выведем этот показатель:

(dy/dL)/y = (А L - 1)/( А L ) = /L.

Значит, темп прироста предельного продукта труда находится в обратно пропорциональной зависимости от L и при > 0 значение правой части выведенного показателя уменьшается. Аналогичный вывод нетрудно сделать из анализа показателя предельного продукта капитала. Таким образом, увеличение значения L влечет за собой уменьшение значения (dy/dL)/y, а увеличение значения K – уменьшение значения (dy/dK)/y.

Итак, при моделировании производства в форме ПФ Кобба – Дугласа с

увеличением трудозатрат значение темпа прироста предельного продукта труда уменьшается, с увеличением использования капитала значение темпа прироста предельного продукта капитала также уменьшается.

259

< 1 говорят об убывающей, и при E(х) = 1 – постоянной эффективности от укрупнения масштабов производства в точке х.

Теорема Эйлера. Для однородной производственной функции k-й

степени, k – любое действительное число, выполняется следующее равенство:

Продифференцируем равенство по : левую часть – по правилу дифференцирования сложной функции, правую – как степенную функцию. В

результате получим

для любого . При = 1 придем к требуемому равенству.

Разделив это равенство на f(x1 ,..., хп), получим

Левая часть равенства, очевидно, представляет собой сумму частных коэффициентов эластичности функции f. Таким образом, суммарный коэффициент эластичностей факторов производства равен степени однородности функции, т.е. E(x)=k при всех х. Суммарная эластичность однородных функций не зависит от комбинации затрат.

При k > 1 для каждой комбинации затрат имеет место возрастающая,

при 0 < k < 1 – убывающая и при k = 1 – постоянная эффективность от укрупнения масштабов производства.

261

10.8. Немного истории1’2

Современная теория производства сложилась в конце XIX-начале XX в. В

явном виде производственная функция была представлена в 1890 г. английским математиком А. Берри, помогавшим А. Маршаллу (A. Marshall) при подготовке математического приложения3 к его «Принципам экономической науки».

Однако попытки установить зависимость выпуска от количества применяемых ресурсов и дать ей какое-то аналитическое выражение имели место задолго до этого. Познакомимся с некоторыми из них.

Первые попытки подхода к идее производственной функции, выразив ее вербально, предприняли Марк Теренций Варрон, затем следует упомянуть Н.Г.

Чернышевского и Н. Огроновича.

Первые попытки практического применения ПФ в сельском хозяйстве относятся к XIX в. Еще в 1840 г. известный немецкий химик Ю. Либих (J. von Liebig) выдвинул теорию минерального питания растений, которая в значительной мере способствовала внедрению минеральных удобрений в земледелие. Используя идею о том, что урожайность культуры y определяется тем фактором, который находится в минимуме, Либих эффективность удобрений моделировал в виде следующей ПФ:

y ax,

где х – количество внесенных минеральных удобрений; a – влияние удобрений на урожайность.

Но сельскохозяйственные культуры, как известно, приносят определенный урожай и без удобрений. Поэтому позже была введена постоянная величина c и

модель приняла вид

1www. economus.ru. 50 лекций по микроэкономике. Лекция 22. Раздел 4.

2Гришин А.Ф., Котов-Дарти С.Ф., Ягунов В.Н. Статистические модели в экономике / Рекоменд. Советом УМО вузов России по образ. в области экон., стат., и инф. систем и мат. методов в экон. в качестве учеб. пособия – Ростов н/Д: «Феникс», 2005. – Сер. «Высш. образ.». – Глава 4, 4.1.

3Berry A. The Pure Theory of Distribution // British Association of Advancement of Science: Report of the 60th Meeting, 1890. – London, 1893. – P. 923-924.

262

y c ax.

Со временем ПФ функцию y c ax детализировал по видам вносимых удобрений, и она стала многофакторной:

соответствовала предъявляемым требованиям. В частности, она не позволяла прогнозировать максимальный уровень урожайности сельскохозяйственных культур. Совместные исследования агрономов, математиков и статистиков привели к появлению ряда более сложных зависимостей.

В частности, в свое время получила известность производственная функция Митчерлиха – Спилмана (E.A. Mitscherlich, W.J. Spillman), которая была предложена в 1909 г.:

y M ARx ,

где М – максимальная урожайность культуры; А – наибольшая отзывчивость культуры на удобрения; R – степень снижения эффективности удобрения; х –

количество вносимых удобрений.

ПФ Митчерлиха – Спилмана была более совершенной, но тоже не лишенной отдельных недостатков.

Английские исследователи Иетс и Кроутер в результате обработки опытов по внесению удобрений в Англии за 1900–1914 гг. получили ПФ, которая имеет вид

y y0 A(1 10 kx),

где у – урожайность сельскохозяйственной культуры; y0 – выход продукции с единицы площади посева без удобрений; А – максимальный прирост урожайности от удобрений; k – константа для каждого из видов удобрений.

Известен ряд модификаций функции Иетса и Кроутера, но все они редко обеспечивали получение приемлемых результатов.

263