02-03-2014_18-23-44 / 10

Это объясняется тем, что все приведенные выше ПФ урожайности являются односторонними в том смысле, что в них учтены только удобрения.

Уровень урожайности сельскохозяйственных культур зависит не только от качества и количества внесенных минеральных и органических удобрений, но и от ряда других факторов. Большое влияние на выход продукции с 1 га посевов оказывают метеорологические условия и, особенно, обеспеченность влагой,

плодородие почвы, качество семян, уровень агротехники и т. д.

Значительные исследования по изучению влияния метеорологических факторов были проведены известным русским статистиком В.М. Обуховым,

который с 1933 по 1938 г. руководил группой специалистов по изучению динамики урожайности сельскохозяйственных культур при Наркомземе СССР.

Так, была получена ПФ, характеризующая зависимость урожайности зерна ржи

у от количества влаги в отдельные периоды вегетации. Эта функция имела

где x1, – количество зимних осадков, включая позднеосенние и ранневесенние; x2 – наличие влаги в начале вегетации ржи; x3 – количество влаги в последующее время; x4 , x5 – обеспеченность влагой в начальный и в конечный периоды выхода ржи в трубку; x6 , x7 , x8 , x9 – количество влаги соответственно при колошении, цветении ржи, во время налива зерна и в период его созревания.

Приведенная ПФ с достаточно высокой точностью для практики моделировала зависимость урожайности от уровня обеспеченности влагой в отдельные вегетационные периоды.

Статистик Б.С. Ястремский с помощью ПФ составлял прогнозы урожайности сельскохозяйственных культур и определял виды на урожай. В

частности, Ястремский разработал методику прогнозирования урожайности

264

сахарной свеклы исходя из исследований динамики нарастания средней массы корнеплодов.

Здесь изложены основные этапы развития исследований по использованию ПФ в целях планирования урожайности сельскохозяйственных культур. Но аналогичными этапами характеризуется применение этих функций и при решении других важных вопросов аграрного производства.

Большие работы по практическому использованию ПФ проведены американским профессором Э. Хеди. Например, под его руководством на основе выборки, охватывающей 255 фермерских хозяйств США, была получена ПФ, определяющая эффективность земледелия в зависимости от ряда факторов:

y 17,9x10,54x20,39x30,165x40,012x50,073,

где y – валовой доход фермера; x1 – посевная площадь фермерского хозяйства; x2 – годовые трудозатраты; x3 – издержки на техническое обслуживание; x4 –

стоимость внесенных удобрений; x5 – прочие производственные затраты.

Значительные обобщения по практическому применению ПФ выполнены американским исследователем Г. Тинтером (G. Tintner), который приводит целое множество функций спроса, предложения, издержек производства,

функций полезности и т. д.

Опыт использования ПФ в сельском хозяйстве показал, что максимизация надоев молока, привеса животных и других натуральных показателей продуктивности не совпадает, как правило, с максимизацией и минимизацией экономических показателей (прибыли, себестоимости), т. е. натурально-

вещественный оптимум и экономический по существу своему различные понятия.

В 1928 г. Ч. Кобб и П. Дуглас на основе данных по обрабатывающей промышленности США за период 1899–1922 гг. (т.е. несельскохозяйственные отрасли) представили функцию P bL K1 . Это была первая эмпирическая ПФ, построенная по данным временных рядов. Ее конкретный вид Р = 1,01

265

L0,75K0,25 , где Р – расчетный индекс производства, К – индекс основного капитала, L – индекс занятости. В настоящее время ПФ Кобба – Дугласа широко используется в учебной и научной литературе.

10.9. О дальнейшем развитии производственных функций1

Для каждого их приведенных ниже видов функций будем указывать одну или несколько систем условий на характеристики функций данного вида,

однозначно выделяющих его среди других видов. Эти условия представляют собой либо соотношения между различными характеристиками функции, либо описание поведения отдельных характеристик в различных частях области определения. Выполнение этих условий следует рассматривать как предпосылки для выбора функции данного вида. Доказательства эквивалентности систем условий и принадлежности к функциям данного вида опускаются. Все рассмотренные здесь функции y fa (x1,x2 ) непрерывны и либо сами являются дифференцируемыми, либо могут быть получены предельным переходом по параметрам из дифференцируемых.

В приведенном ниже списке видов функций они располагаются в порядке возрастания сложности их записи и соответственно увеличения числа необходимых для этого параметров. Все эти функции допускают модификации,

отличающиеся от основного вида тем, что в них априорно фиксируются значения некоторых параметров или их комбинаций. Такая фиксация может быть вызвана либо наличием априорной информации о величине данных параметров, либо стремлением упростить процесс оценки параметров. Так, если функция однородная и степень ее однородности является оцениваемым параметром, то в качестве модификации основного вида может быть

1Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. – М.: Финансы и статистика, 1986. –

Глава 2, 2.2.1.

266

рассмотрен класс функций с предписанной заранее степенью однородности,

скажем, равной единице. Мы не будем выделять эти модификации в отдельные классы функций и специально указывать их.

1. Функция с фиксированными пропорциями факторов (ПФФПФ,

функция Леонтьева, Леонтьева-Харрода-Домара (LHD) (R.F. Harrod, E.D.

двухуровневой кусочно постоянной невозрастающей функцией от отношения x1 / x2 с нулевым нижним уровнем. Предельная производительность второго фактора – неубывающая кусочно постоянная функция от x1 / x2 с нулевым нижним уровнем;

б) при m 1 функция представляет решение следующей задачи линейного программирования:

ay x1,by x2,

y max,

где y – оптимизируемая переменная;

в) функция однородна и эластичность замены факторов равна нулю;

г) функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью замены вида

y xa1 xb2 m/

путем предельного перехода .

Функция Леонтьева предназначена для моделирования строго

267

детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов на единицу продукции. Обычно используется для описания мелкомасштабных или полностью автоматизированных производственных объектов.

2. Мультипликативная функция, функция Кобба-Дугласа (ПФКД)

класс функций Кобба-Дугласа среди дважды дифференцируемых функций от двух переменных:

а) эластичности выпуска по факторам постоянны:

Решением этой системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка является класс функций Кобба-Дугласа;

б) эластичность функции по одному из факторов постоянна и функция является однородной:

в) функция однородна и эластичности замещения факторов равны единице

(x1,x2 ) 1;

г) предельная производительность каждого фактора пропорциональна его средней производительности:

путем предельного перехода 0.

Функция Кобба-Дугласа чаще всего используется для описания

среднемасштабных хозяйственных объектов (от производственного

объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием (вовлечение новой средней единицы ресурса производительности имеющегося ресурса).

Предпосылки:

а) предельные производительности факторов постоянны

причем при a0 0 в нуле функция принимает нулевое значение;

б) при a0 0 функция однородна и

в) эластичность замены факторов бесконечна:

(x1,x2 ) ;

г) при a0 0 эластичности выпуска по факторам обратно пропорциональны их средним производительностям:

Линейная функция применяется обычно для моделирования крупномасштабных систем (крупная отрасль, народное хозяйство в целом), в

которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования множества различных технологий. Особую роль играет предпосылка о постоянстве предельных производительностей факторов или об их неограниченной замещаемости.

4. Функция Аллена (ПФА) (R.G.D. Allen)

269

параметров) может быть использована для моделирования систем любого

уровня.

6. Функция с линейной эластичностью замены факторов (ПФЛЭЗ,

функция LES)

(6)

Предпосылки: функция однородна и эластичность замены факторов является линейной функцией от отношения факторов с единичным свободным членом:

(x1,x2 ) 1 c x1 , x2

где c a1 a1 . a2 a2

Функция LES рекомендуется для описания производственных процессов, у

которых (в отличие от описываемых функцией CES) возможность замещения вовлекаемых факторов существенно зависит от их пропорций, причем при низком уровне x1x2 близка к единице, а с ростом x1x2 неограниченно возрастает. Такая ситуация возможно, например, если рост ресурса x1 связан с общим расширением производства, появлением множественных технологических процессов с широкими возможностями комбинирования.

7. Функция Солоу1 (R.M. Solow) или Хилхорста (J.G.M.Hillhorst) (ПФС,

ПФХ)

характеризуется тем, что величина процентного измерения предельной нормы замены факторов, вызванного увеличением любого фактора на один процент, не зависит от начального уровня факторов:

1Американский экономист, лауреат Нобелевской премии 1987 г. «за фундаментальные исследования в области теории экономического роста».

271

Функция Солоу может пользоваться примерно в тех же ситуациях, что и функция CES, однако предпосылки, лежащие в ее основе, слабее предпосылок функции CES (в частности, не требуется предположения об однородности). Это позволяет рекомендовать ее (при наличии соответствующих средств оценки параметров) в тех случаях, когда предположение об однородности представляется неоправданным, например, когда влияние на объем выпуска увеличения каждого и факторов проявляется совершенно различным образом.

Функция Солоу может моделировать системы любого масштаба.

8. Ограниченная функция с постоянной эластичности замены

факторов (ОПФПЭЗ, ограниченная функция CES)

Предпосылки: функция моделирует процесс, в котором при малых значениях одного из факторов выпуск пропорционален объему этого фактора,

при больших – описывается функцией CES. При m1 1,m2 1 функцию можно рассматривать как решение задачи оптимизации

a1y x1;a2 y x2,

y a(b1x1 b2x2 ) m/ ,

y max,

относительно переменной y.

Подобным образом могут быть построены ограниченные функции Кобба-

Дугласа, Солоу и др.

Ограниченная функция CES предназначена для описания двухрежимного

272

производственного процесса, в котором один из режимов характеризуется отсутствием заменяемости факторов, другой – ненулевой постоянной (но не известной заранее) величиной эластичности замены. При этом переход от одного режима к другому осуществляется в зависимости от уровня лимитирующего первый режим фактора.

9. Многорежимная функция (МПФ)

y a b11x1 b21x2 m1 b1k x1 b2k x2 mk . (9)

Предпосылки: функция однородна и эластичность функции по первому аргументу представляет собой сглаженную k -уровневую убывающую ступенчатую функцию. Сглаживание осуществляется путем перехода от кусочно-постоянной функции

где 1.

Многорежимная функция, одна из наиболее общих в числе приведенных форм производственных функций, используется при описании процессов, в

которых уровень отдачи каждой новой единицы ресурса скачкообразно меняется в зависимости от соотношения факторов. Функцию целесообразно

применять при наличии априорной информации о числе режимов k , а иногда и

о ширине «переходной» области между режимами (чем выше | |, тем более

отчетливо выделяются режимы).

10. Функция линейного программирования (ПФЛП)

Предпосылки:

273