высшая математика

Лекция 59

Конечные разности и обыкновенные разностные уравнения

При описании развития экономики во времени, если время меняется дискретно, широко используются разностные уравнения. Дано понятие конечных разностей и обыкновенных разностных уравнений, изучены некоторые разностные уравнения и свойства их решений.

10. Понятие о конечных разностях. Пусть известны значения

единицу измерения для аргумента t, всегда можно добиться того, что h = 1. Поэтому дальше будем считать h = 1.

Отметим, что в динамических экономических моделях обычно интервал h = 1 отождествляется с единичным периодом времени, например, один год.

Конечными разностями первого порядка функции x= f (t) называют числа

∆kx(0) = ∆k–1x(1) – ∆k–1x(0), ∆kx(1) = ∆k–1x(2) – ∆k–1x(1), ... .

Например, при N = 6 значения функции x = f (t) и ее конечных разностей можно записать в следующую таблицу.

3 7 1

Таблица 1

Пример 1. Построить таблицу конечных разностей для функции x = f (t) = t3 – 2t2 + t + 4, t [0, 5], с шагом h = 1.

Вычислим:

1. Значения функции x = f (t) при t = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Имеем:

x0 = 4, x1 = 4, x2 = 6, x3 = 16, x4 = 40, x5 = 84. 2. Разности первого порядка:

Так как разности третьего порядка равны между собой, то разности четвертого и пятого порядков будут равны нулю. Результаты вычислений запишем в таблицу 2.

В дальнейшем конечные разности функции x = f (t) будем записывать ∆x, ∆2x, ∆3x и т.д.

Свойства конечных разностей.

1. Конечная разность порядка k алгебраической суммы двух функций F (t) = f (t) ± ϕ(t) равна алгебраической сумме конечных разностей слагаемых, т.е. ∆k F = ∆k f ± ∆k ϕ .

3 7 2

Таблица 2

20. Понятие об обыкновенных разностных уравнениях.

Под обыкновенным разностным уравнением понимают соотношение, которое устанавливает связь между значениями одного неиз-

Порядком разностного уравнения (1) называют порядок наивысшей разности, входящей в это уравнение.

Так, разностное уравнение первого порядка имеет вид

Φ(t, x(t), ∆x ) = 0 ,

аразностное уравнение второго порядка

Φ(t, x(t),∆x, ∆2 x ) = 0 .

Ясно, что, используя определение конечных разностей, разностное уравнение n-го порядка всегда можно записать в форме

где порядок уравнения равен разности между последним и первым моментами времени, т.е. n = (t + n) – t.

3 7 3

Так, разностное уравнение первого порядка Φ (t, x(t), ∆x ) = 0 при-

+ x(t) , получим форму вида (2) этого уравнения: x(t + 2) − 6x(t + 1) + 12x(t) + 3t 2 = 0 .

Отметим, что иногда равностоящие значения t отсчитываются в противоположном направлении t, t – 1, t – 2, ..., t – n.

Тогда разностное уравнение n-го порядка имеет вид

Ψ(t, x(t), x(t − 1), ..., x(t − n)) = 0 .

Заменив t − n = t′ , это уравнение можно записать в виде

Ψ(t′, x(t′ + n), x(t′ + n − 1), ..., x(t′)) = 0 .

Очевидно, что форма записи разностного уравнения не имеет значения, и в практике используют ту форму, которая наиболее удобна в рассматриваемой ситуации.

Если разностное уравнение можно записать в виде

∆n x = F(t, x(t), ∆x, ..., ∆n− 1x ) ,

то тогда говорят, что оно записано в явной форме. От этой явной формы всегда можно перейти к другой явной форме:

Замечание 1. Если имеется несколько функций x1, ..., xm аргумента t, то по аналогии с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений можно определить также систему обыкновенных разностных уравнений.

30. О решении обыкновенных разностных уравнений.

Если разностное уравнение записано в явной форме (3) и заданы начальные условия x0, x1, ..., xn–1, то, полагая t = 0, можно вычислить xn, затем, полагая t = 1, можно найти xn+1 и т.д. Таким образом, получаем значения неизвестной функции x(t), входящей в разностное уравнение, для последовательных значений аргумента t = 0, 1, 2, ... . Найденные

3 7 4

таким образом значения функции образуют так называемое частное дискретное решение данного разностного уравнения, определенное заданными начальными условиями. Выбирая другие начальные условия, получаем новые частные дискретные решения данного разностного уравнения. Можно поставить задачу нахождения общего дискретного решения разностного уравнения, т.е. такого решения, из которого можно получить любое частное дискретное решение.

Рассмотрим, например, уравнение x(t + 1) = 4x(t) + 2t. Полагая x(0) = x0, получим последовательные значения искомой функции:

x1 = 4x0 , x2 = 4x1 + 2 = 16x0 + 2 ,

x3 = 4x2 + 4 = 4(16x0 + 2) + 4 = 64x0 + 12 ,

x 4 = 4x3 + 6 = 4(64x0 + 12) + 6 = 256x0 + 54 и т.д.

Общее дискретное решение получаем в виде следующей последовательности:

x0, 4x0, 16x0 + 2, 64x0 + 12, 256x0 + 54, ...,

задающей значения искомой функции x(t) при t = 0, 1, 2, 3, 4, ... .

Из изложенного выше вытекает, что если заданы начальные условия, то можно решить разностное уравнение численным способом. Но возникает естественный вопрос: как выразить решение x(t) через t в явной форме. Этот вопрос в общем случае достаточно сложный, и ответ на него будет дан в дальнейшем только для линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Отметим также, что общее дискретное решение обыкновенного разностного уравнения n-го порядка представляет собой функцию аргумента t (t = 0, 1, 2, ...), содержащую ровно n произвольных постоянных, т.е. имеет вид x(t, C1, C2, ..., Cn). Если известно общее дискретное решение, то для получения частного дискретного решения уравнения n-го порядка нужно задать n начальных условий, с помощью которых находим значение произвольных постоянных из системы уравнений

Дальше слово «дискретное» опускаем.

3 7 5

40. Линейные разностные уравнения и свойства их р е ш е н и й .

Линейным обыкновенным разностным уравнением n-го порядка называют уравнение вида

Если правая часть f (t) не равна тождественно нулю, то уравнение называется неоднородным, а если f (t) ≡ 0, то такое уравнение называется однородным.

Например, x(t + 2) + 2x(t + 1) – 3x(t) = 2t – линейное разностное неоднородное уравнение второго порядка, а ∆x + 2x(t) = 0 – линейное разностное однородное уравнение первого порядка.

Перечислим основные свойства дискретных решений линейных разностных уравнений.

1. Если x1(t) и x2(t) – решения однородного линейного уравнения, то их линейная комбинация α 1x1(t) + α 2x2(t) (α 1 и α 2– заданные постоянные) также являются дискретным решением этого уравнения.

2.Если x*(t) – частное решение неоднородного уравнения, а

x(t, C1, C2, ..., Cn) – общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному уравнению, то общее решение

x(t) линейного неоднородного разностного уравнения имеет вид:

x(t) = x * (t) + x(t,C1,C2 , ...,Cn ) .

3.Пусть x1(t), x2(t), ..., xn(t) – n независимых решений линейного однородного разностного уравнения. Тогда общее решение этого уравнения имеет вид:

x(t, C1, C2, ..., Cn) = C1x1(t) + C2x2(t) + ... +Cnxn(t),

где λ – постоянная, которая подлежит определению.

Подстановка решения в указанном виде в уравнение (4) дает

3 7 6

Откуда получаем, что λ = a.

Тогда общее решение уравнения (4) имеет вид x(t) = Cat,

где С – произвольная постоянная. Заметим, что возможно значение λ = 0 для уравнения (5). Оно

приводит к частному решению x(t) = 0 для всех значений t.

Замечание 2. Частное решение x*(t) неоднородного линейного

зависит от вида функции f (t). Если f (t) = b(const), то частное решение уравнения

(6) ищем в виде x*(t) = A, где А – константа, подлежащая определению. Если правая часть f (t) в (6) имеет вид многочлена, например, f (t) = bt + d, то частное решение x*(t) уравнения (6) ищем в виде многочлена той же степени с неизвестными коэффициентами, которые подлежат определению.

50. Динамическое планирование производства.

Рассмотрим пример экономической системы, в математическом

описании которой участвуют разностные уравнения. Считаем, что время изменяется дискретно, по циклам, и циклом в зависимости от масштабов производства может быть выбран день, неделя, месяц, квартал, год и т.д. Планировать производство предполагается циклически. Рассмотрим случай, когда выпускается один вид продукции в количестве ϖ1. Пусть на срок Т циклов известен спрос на нее v1(t). Требуется запланировать такие объемы ϖ1(t) выпуска этой продукции, что спрос будет удовлетворен, т.е. будет выполняться u1(t) = v1(t), но не будет слишком много нереализованной продукции и не будет больших колебаний ∆ϖ1(t) = ϖ1(t + 1) – ϖ1(t) выпуска продукции (u1(t) – поставки продукции).

Запасы z1(t) продукции подчиняются уравнению z1(t + 1) = z1(t) + ϖ1(t) – u1(t). Так как любое число можно представить в виде разности двух неотрица-

Если целью является ограничение резких наращиваний производства, то на траекториях системы (7) нужно минимизировать функцию

3 7 7

3. Записать общее дискретное решение в виде последовательности (вычислить не менее пяти членов) уравнений:

а) x(t + 1) = x 2 (t) + x(t) + 1 ; б) x(t + 1) = 5x(t) + t ;

г) x(t + 1) + 5x(t) = 7t − 5 .

3 7 8

Лекция 60

Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами

Изучены решения однородных и неоднородных линейных разностных уравнений второго и произвольного порядков с постоянными коэффициентами.

10. Линейные разностные уравнения с постоянны-

ми коэффициентами. Линейное разностное уравнение n-го порядка

называется линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, если коэффициенты a0(t), a1(t), ..., an(t) – постоянные числа,

причем a0 ≠ 0 .

Если правая часть f (t) не равна тождественно нулю, то уравнение называется неоднородным с постоянными коэффициентами, а если f (t) ≡ 0, то однородным с постоянными коэффициентами.

Рассматриваемое уравнение можно записать с помощью конечных разностей

где x1(t), x2(t), ..., xn(t) – n линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами, соответствующего данному неоднородному уравнению (1), а x*(t) – частное решение неоднородного уравнения (1).

Изучим частные случаи уравнения (1).

20. Линейное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий вид такого уравнения следующий:

Соответствующее (2) однородное уравнение запишется

3 7 9

где a1, a2 – константы, причем a2 ≠ 0.

Будем искать решение однородного уравнения (3) в виде показательной функции, т.е. x = λt, где λ – постоянная, подлежащая определению.

Подставляя это решение в уравнение (3), получаем

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением для однородного уравнения (3).

Корни характеристического уравнения имеют вид

уравнения (4) λ1 и λ2 действительные и различные. Получаем два ли- нейно-независимых решения λt1 и λt2 однородного разностного уравнения. Общее решение однородного разностного уравнения имеет вид

x(t) = C1λt1 + C2 λt2 ,

а неоднородного

x (t) = C1λt1 + C2λt2 + x * (t) ,

где C1 и C2 – произвольные постоянные, а x*(t) – частное решение неоднородного уравнения (2). Значения постоянных C1 и C2 могут быть определены, если задать начальные условия x(0) = x0, x(1) = x1.

щее решение однородного уравнения (3) будет

3 8 0