высшая математика

ем следующее: поскольку в δ-окрестности точки col (x0; y0) знаки dx и dy любые, то неравенство (1) может выполняться только при

необходимое условие экстремума и на самом деле df (x!0 ) = 0 .

Аналогично, функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, в которых все ее частные производные равны нулю. Такие точки называются стационарными, или критическими. Названные условия являются необходимыми условиями экстремума, но, вообще говоря, недостаточными, т.к. они могут выполняться и в точках, где нет экстремума.

ренциал второго порядка в стационарной точке больше нуля, то имеет место минимум, а если меньше нуля, то максимум.

Рассмотрим подробно, при каких условиях дифференциал второго порядка функции двух переменных f (x, y) сохраняет свой знак

Перепишем дифференциал второго порядка

2 7 1

d 2 f (x 0 , y0 ) = A(dx )2 + 2B dx dy + C(dy)2

40. Примеры.

Пример 1. Найти экстремумы функции z = –x2 – xy – y2 + 3x + 6y.

Решение. Найдем первые частные производные:

Значение функции в точке максимума zmax(0, 3) = 9.

Пример 2. Предположим, что есть фирма, выпускающая два вида продукции в условиях совершенной (безупречной) конкуренции. При такой конкуренции цены обоих видов можно считать постоянными и обозначим их соответственно P1 и P2.

Функция дохода фирмы будет следующей:

2 7 2

R = P1 Q1 + P2 Q2 ,

где Qi означает количество продукции і-го вида в единицу времени. Допустим, что функция цели этой фирмы есть

та) является функцией не только Q1, но и Q2. Таким же образом предельная цена изделия второго сорта зависит частично от уровня цены первого сорта.

Дальше видим, что, согласно принятой функции продукции, оба изделия являются технически связанными в процессе продукции.

Истинная функция дохода может быть записана в виде:

П = R – C = P1 Q1 + P2 Q2 – 2Q12 – Q1 Q2 – 2Q22

и является функцией переменных Q1 и Q2, в выражение которой входят два параметра, выражающие цену. Нашей целью является нахож-

Если, например, P1 = 12, P2 = 18, то Q10 = 2, Q20 = 4, что дает оптимальный (максимальный) доход П = 48 в принятой единице времени.

Чтобы убедиться в этом, проверим достаточное условие экстремума второго порядка. Находим вторые частные производные от функций (4) при Q1 = Q10 = 2, Q2 = Q20 = 4. Получаем:

2 7 3

ственная, то на самом деле найденный максимальный доход является единственным абсолютным максимумом.

Замечание 1. Отметим, что при исследовании локального экстремума в точке x!0 условия, налагаемые на функцию f, можно ослабить: !в пункте 20 достаточно предположить дифференцируемость функции f в точке x0 ; в пункте 30 можно считать функцию f один раз дифференцируемой в некоторой окрестности точки x!0 и два раза дифференцируемой в самой точке x!0 .

! Задания для самостоятельной работы

1. Исследовать следующие функции на экстремум:

д) z = 2 − 33 x 2 + y 2 ; е) z = x2 + y2 – 2 ln x – 18 ln y;

ж) z = 2 + 4x − 4y . 1+ x 2 + y 2

2 7 4

Лекция 44

Условный экстремум функции многих переменных

Приведены необходимые и достаточные условия условного экстремума; указан способ нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывно дифференцируемой функции в ограниченной замкнутой области; рассмотрен пример на условный экстремум в экономике.

10. Определение условного экстремума. Рассмотрим задачу на условный экстремум

20. Условия экстремума функции двух переменных.

Рассмотрим задачу на условный экстремум функции f (x, y) двух переменных x и y при заданном уравнении связи g(x, y) = 0. Для нахождения условного экстремума вводится функция Лагранжа

где λ – множитель Лагранжа, и затем исследуют ее на безусловный экстремум.

Записывая необходимое условие экстремума для функции Лагранжа (Л.43), получаем следующее: dL(x0, y0, λ0) = 0

2 7 5

Замечание 1. Нужно иметь в виду, что дифференциалы переменных dx и dy в d2L(x0, y0, λ0) зависимы, и эта зависимость диктуется уравнением связи. При определении знака d2L(x0, y0,λ0) величины dλ не учитываются, т.е. полагается

+∂ 2 L(x 0 , y0 , λ 0 ) (dy)2 .

∂y 2

Отметим также, что сформулированные условия экстремума верны, вообще говоря, только для нормальных или регулярных точек (x0; y0) (dg(x0, y0) ≠ 0).

Пример 1. Найти экстремальные точки функции z = x2 + y2, при

и нахождение стационарных точек сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений (4).

а) Пусть x ≠ 0, тогда имеем λ = –4, y = 0, x = ± 2 – первая пара стационарных точек.

б) Пусть y ≠ 0, тогда λ = –9, x = 0, y = ± 3 – вторая пара стационарных точек.

2 7 6

Рис. 1

Будут ли найденные стационарные точки точками экстремума, позволит определить достаточное условие экстремума.

Вычисляя производные второго порядка, получим:

Ответ: в точках (± 2; 0) условный локальный минимум; в точках (0; ± 3) условный локальный максимум.

30. Условный экстремум в экономике.

Пример 2. Фирма решила ежемесячно ассигновать сто тысяч долларов на производство некоторой продукции. Пусть средняя заработная плата на фирме 2000$, а стоимость единицы сырья – 1000$. Требуется определить, какое количество рабочих х и какое количество сырья y необходимо приобрести фирме для получения наибольшего объема продукции z, если известно, что объем прямо пропорционален с коэффициентом пропорциональности, равным 5, количеству рабочих и сырья.

2 7 7

Решение. Математическая модель такой задачи (Л.1) имеет вид:

где уравнение связи в (5) можно, очевидно, заменить более простым урав-

нением 2x + y = 100.

Функция Лагранжа (2) имеет вид:

L(x, y, λ) = 5xy + λ(2x + y – 100).

Уравнения (3) приобретают в данном случае форму:

Поскольку 2dx = – dy, то d2L = – 20(dx)2 < 0 – max.

Ответ: 25 рабочих и 50 единиц сырья.

40. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Если функция f (x!) непрерывно дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений (абсолютного максимума и минимума) или в критической (стационарной) точке, или в граничной точке области. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо:

2 7 8

Рис. 2

1) найти стационарные точки в этой области и значения функции в

них;

2) найти наибольшие и наименьшие значения функции на границе области.

Выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2y (2 – x – y) в треугольнике, ограниченном прямыми x = 0, y = 0, x + y = 6 (рис. 2).

Решение. Найдем критические точки, лежащие внутри данного треугольника. Имеем:

Получим одну критическую точку внутри треугольника: M0(1; 0,5). Исследуем функцию на границе области. На сторонах x = 0 и y = 0

треугольника значения функции z равны нулю. Найдем ее наибольшее и наименьшее значения на стороне x + y = 6. Здесь y = 6 – x (0 ≤ x ≤ 6) и z = z(x) = – 4x2 (6 – x). На концах отрезка z(0) =z(6) = 0. Критические точки определяем из уравнения z′(x ) = 0 , – 48x + 12x2 = 0, 12x (x – 4) = 0. Отсюда x = 4, т.к. x = 0 – граничная точка. При этом y = 2, и имеем точку M1(4; 2).

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции в дан-

ном треугольнике надо искать среди следующих ее значений: z = 14 в точ-

2 7 9

ке M0(1; 0,5); z = 0 на сторонах x = 0 и y = 0; z = – 128 на стороне x + y = 6 в

1

точке M1(4; 2). Отсюда видно, что наибольшее значение zmax = 4 данная

функция принимает в точке M0(1; 0,5), а наименьшее zmin = – 128 – в точке

M1(4; 2).

! Задания для самостоятельной работы

2.Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.

3.Найти экстремум функции z = x2 + y2, если х и у связаны урав-

нением x4 + 3y = 1 .

4.Определить, каковы должны быть размеры прямоугольного бассейна, чтобы при данной площади его поверхности S объем был наибольшим.

5.Найти наибольшее и наименьшее значения следующих фун-

кций:

2 8 0