высшая математика

Действительно,

когда функции f (x) и g(x) являются БМФ при x → a. Теперь рассмотрим

x → +∞ . Применим правило Лопиталя:

191

Очевидно, целесообразно еще раз применить правило Лопиталя.

20. Формула Тейлора. Широкое применение в математике и в ее приложениях имеет формула Тейлора. Обратимся к ее выводу. Пусть функция f имеет производную в точке а. Можно записать:

При h → 0 величина o(h) быстрее стремится к нулю, чем h. Если этой величиной пренебречь, то получим следующую приближенную формулу:

(Формула (5) практически есть несколько иная запись формулы (4) из Л.30). Эта формула позволяет любую, может быть, достаточно сложную функцию f (a + h) переменной h заменить более простой ли-

нейной относительно h функцией f (a) + f ′(a)h . Этим приемом мы уже пользовались в приближенных вычислениях.

Погрешность формулы (5) мала по сравнению с h. Но может возникнуть задача, чтобы получить более точную, чем (5), формулу, например, чтобы погрешность была мала по сравнению с h2 при h → 0. В этом случае вместо формулы (4) естественно искать формулу следующего вида:

f (a + h) = c0 + c1h + c2h2 + o(h2),

192

где c0, c1, c2– некоторые постоянные числа. В этом случае функция f (a + h) заменяется многочленом второй степени.

В общем случае можно поставить задачу так: найти многочлен

n-ой степени Pn(h) = c0 + c1h + c2h2 + ... + cnhn такой, чтобы имело место равенство:

f (a + h) = Pn(h) + o(hn).

Если ее решить, то любую функцию, может быть, достаточно сложную, можно заменить многочленом Pn(h). Многочлен удобен при исследовании. Погрешность такой замены будет мала по сравнению с hn.

Эта задача нами решена в случае n = 1. Мы полагали, что функция f имеет в точке а первую производную.

В общем случае будем полагать, что функция f имеет в некоторой окрестности точки а, производные до порядка n включительно. В этом случае имеет место следующее соотношение:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Отсюда получим, что ϕ (0) = ϕ ′(0) = ... = ϕ (n− 2) (0) = 0 .Следовательно, по правилу Лопиталя (см. равенство (2)) найдем, что

1 9 3

Таким образом, формула (6) доказана.

Величину o(hn) называют остаточным членом в форме Пеано формулы Тейлора. Имеют место и другие выражения для остаточного члена. В частности, если предположить существование (n + 1)-ой производной в некоторой окрестности точки а, то справедливо равенство

1 9 4

Естественно, чем больше n, тем точнее будет эта формула. Можно показать, что если взять n = 6, то погрешность будет меньше 0,001.

Пример 5. Найти формулы Маклорена для следующих функций: a) f (x) = sin x; б) f (x) = cos x.

Решение. Воспользуемся формулой (6) из Л.29,

!Задания для самостоятельной работы

1.Найти пределы:

1 9 5

Лекция 32

Исследование поведения функций

спомощью производной

Изучаются условия постоянства функции и признаки монотонности. Приводятся необходимые и достаточные условия экстремума функции. Рассматриваются методы нахождения наибольших и наименьших значений функций.

10. Условие постоянства функции.

Теорема 1.

Пусть функция f непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него производную f ′(x) . Для того, чтобы функция f (x) была постоянной в Х, необходимо и достаточно, чтобы f (x) = 0 внутри Х.

Доказательство. Необходимость следует немедленно, если f (x) = С, то f ′(x ) = (C )′ = 0 , x X.

называется невозрастающей на промежутке X. Неубывающая и невозрастающая на промежутке X функции называются монотонными.

По аналогии с последовательностями (см. Л.22) вводятся понятия возрастающих, убывающих и строго монотонных функций.

Теорема 2.

Если функция f непрерывна на промежутке Х, дифференцируема внутри него и f ′(x) ≥ 0 ( f ′(x) ≤ 0 ) внутри Х, то функция f является неубывающей (невозрастающей) на Х.

1 9 6

Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции

в Л.30. Подчеркнем также, что из определения следует, что эти понятия

1 9 7

Заметим, что точка х0 называется точкой строго локального максимума (минимума), если для всех х из некоторой δ-окрестности точки х0 выполняется неравенство f (x) < f (x0) (f (x) > f (x0)) при x ≠ x0.

Пусть функция f имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке. Тогда по теореме Ферма (см. Л.30) имеем f ′(x0 ) = 0 . Таким образом, обращение в нуль производной дифференцируемой функции является необходимым условием экстремума. Значения аргумента х, при которых производная f ′(x ) равна нулю, называются стационарными точками функции. Только стационарные точки могут быть точками возможного экстремума у дифференцируемой функции. Однако не каждая стационарная точка является точкой экстремума. Например, функция y = x3

имеет стационарную точку х = 0 ( y′ = 3x 2 ), но эта точка, очевидно, не является точкой экстремума. Поэтому целесообразно найти достаточные условия локального экстремума.

кция f имеет локальный минимум. Если f ′(x) имеет во всей δ-окрестно- сти один и тот же знак, то в точке х0 локального экстремума нет.

Таким образом, если производная f ′(x ) меняет знак при переходе через точку х0, то функция f имеет в точке х0 локальный экстремум. Причем если производная меняет знак с “+ ” на “–”, то точка х0 является точкой максимума, если же с “–” на “+ ”, – точкой минимума. Очевидно, теорема 3 имеет простой геометрический смысл.

1 9 8

Так как x – x0 > 0 и f ′(c) < 0 , то f (x) < f (x0) x (x0; x0 + δ).

Таким образом, точка х0 является точкой строгого локального максимума функции f.

Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с “–” на “+ ” при переходе через точку х0. Теорема доказана.

Пусть теперь производная не меняет знак при переходе через точ-

Пример 2. Найти точки экстремума функции y = x3 + 3x2 – 9x + 1.

Решение. Данная функция дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем ее производную:

y′ = 3x 2 + 6x − 9 = 3(x 2 + 2x − 3) .

Теорема 4 (второе достаточное условие экстремума).

Пусть точка х0 есть стационарная точка функции f, в которой существует вторая производная f ′′(x0 ) . Тогда, если f ′′(x0 ) < 0 , то точка х0 является точкой локального максимума функции f, если f ′′(x0 ) > 0 , то точка х0 является точкой локального минимума.

Второе достаточное условие экстремума удобно тем, что в данном случае исследуется знак второй производной f ′′(x) только в самой стационарной точке.

1 9 9

Доказательство теоремы 4. Запишем формулу Тейлора для функции f в точке х0 с остаточным членом в форме Пеано, n = 2,

где α(x) – БМФ при x→ x0. Будем иметь:

f (x ) − f (x0 ) = ( 21 f ′′(x0 ) + α(x ))(x − x0 )2 .

Пусть, например, f ′′(x0 ) > 0 . Тогда в некоторой δ -окрестности точки х0 будет выполняться и следующее неравенство:

f ′′(x0 ) + α(x ) > 0 .

Это означает, что в этой δ -окрестности будет f (x) – f (x0) > 0, x ≠ x0 .

Следовательно, точка х0 является точкой локального минимума функции f.

Аналогично рассматривается случай, когда f ′′(x0 ) < 0 .

Обратимся теперь к примеру 2. Найдем вторую производную функции y, y′′ = 6(x + 1) . Очевидно, y′′(− 3) = − 12 < 0 , y′′(1) = 12 > 0 .

Следовательно, в соответствии со вторым достаточным условием тоже можно сделать заключение, что точка х = –3 является точкой локального максимума, а точка х = 1 – точкой локального минимума.

40. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]. По второй теореме Вейерштрасса (см. Л.26) функция f принимает на отрезке свое наибольшее и наименьшее значения. Поставим вопрос об их отыскании. Пусть, например, требуется отыскать наибольшее значение функции f. Тогда нужно найти все точки локального максимума, найти значения функции в этих точках. Наибольшее значение может достигаться также на одном из концов отрезка. Поэтому, сравнив значения функции во всех точках локального максимума и значения f (a) и f (b), найдем

2 0 0