- •1.Дифференциальные уравнения(д.У.) первого порядка. Общее и частное решение д.У. Задача Коши.
- •2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения (д.У.) первого порядка.
- •2.Однородные ду
- •5.Ду высшихпорядков: постановка задачи Коши, теорема сущ-ния и един-ти решения задачи Коши.
- •8.Линейная зависимость,независимость ф-ий. Определитель вронского.
- •9.Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэф-тами. Характеристическое ур-е Зависимость общего решения от корней характер-го ук-я.
- •12Линейные однородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами
- •13.Линейные неоднородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы со специальной правой частью.
- •15 Устойчивость по Ляпунову
- •16 Устойчивость по первому приближению
- •19.Предел и непрерывность функций комплексной переменной.
- •22.Элеменарные функции комплексной переменной.
- •25.Теорема Коши и интегральная формула Коши.
- •26. Cтепенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля, радиус сходимости
- •27. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора
- •28. Нули аналитических функций. И их классификация.
- •29. Ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация.
- •32. Вычет аналитических функций.
- •35.Классификац.Ур. Матфизики.
- •42. Оригинал и изображение. Св-ва преобразования Лапласа: линейность, подобие.
- •44. Формулы обращения преобразования Лапласа.
- •45. Применение преобразования Лапласа: теоремы обращения.
- •46. Применение преобразования Лапласа. Решение линейных д. У. С помощью преобразований Лапласа.
- •47. Применение преобразования Лапласа к решению физических задач.
- •48. Решение ур-ий с частными производными с помощью преобразования Лапласа.
16 Устойчивость по первому приближению
Пусть имеем динамическую систему
1=f1(t,x1,…,xn),………………………, (1) n=fn(t,x1,…,xn)
с точкой покоя О(0;0), где ф-ии f(x,y) и g(x,y) непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности начала координат.
Разложим ф-ии f(x,y) и g(x,y) по ф-ле Тейлора по x,y в окрестности начала координат:
f(x,y)=ах+by+R1(x,y), g(x,y)=cx+dy+R2(x,y), где а=,b=,c=,d=, аR1,R2 – члены второго порядка малости относительно x,y.
Тогда исходная система (1) примет вид: =ax+by+R1(x,y), (2)
=cx+dy+R2(x,y),
Вместо (2) рассмотрим систему: =ax+by (3)
=cx+dy
(3)- система уравнений первого приближения для системы(1)
Замечание1. Если точка (х0;у0)- некоторое другое положение равновесия системы(1), то система первого приближения строится так: в системе(1) сначала сделаем замену x=u+x0, y=ν+y0 и получим ф-ии (u,ν)=g(u+x0,ν+y0), (u,ν)=f(u+x0,ν+y0), а дальше поступаем так же, как и раньше с заменой х на u, а у на ν.
Справедливы следующие выражения:
1.Если все корни характеристического ур-я
λ2-Sp Aλ+detA=0 (4)
имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение х=у=0 системы (3) и системы (2) асимптотически устойчиво
2.Если хотя бы 1-н корень ур-я (4) имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение системы (3) и системы (2) неустойчиво.
Говорят, что в случаях 1 и 2 возможно исследование на устойчивость по 1-му приближению.
17-1.Фазовая плоскость и особые точки двумерных систем.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами:
Очевидно, что x(t)=0 и y(t)=0 является решением системы, удовлетворяющим нулевым начальным условиям х(0)=0, у(0)=0. Предполагаем, что начало координат O (0; 0) является единственной точкой покоя системы (1), т.е. Δ==0. Будем искать общее решение системы (1) методом Эйлера. Характеристическое уравнение имеет вид:=λ2-(α11+α22)λ+(α11α22-α12α21)=0 (2); Из (2) следует, что λ=0 не может быть корнем характеристического уравнения. Возможны случаи:
1. Корни λ1 и λ2 действительные и различные. Пусть γ1=иγ2=- собственные векторы матрицы А=, соответствующие характеристическим числам λ1 и λ2. Тогда общее решение системы (1) имеет вид: х=С1γ11eλ1t + C2 γ12eλ2t, y= С1γ21eλ1t + C2 γ22eλ2t (3), где С1 и С2 – произвольные постоянные.
1.1. Если λ1<0, λ2<0 то из (3) видно, что точка покоя асимптотически устойчива и называется устойчивым узлом (рис.1).
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
1.2. Если λ1>0, λ2 >0, узел неустойчивый (рис.2).
1.3. Если λ1 λ2<0, то точка покоя называется седлом (рис.3).
17-2.
2. Корни λ1 и λ2 комплексные, т.е. λ1=α + iβ, λ1=α - iβ. Общим решением системы (1) будет
х = еαt (С11 cosβt + С12 sinβt), у = еαt (С21 cosβt + С22 sinβt) (4), где С11,С12,С21,С22 - являются линейными комбинациями произвольных постоянных С1,С2.
2.1. Если α<0, то, на основании (4), заключаем, что при t→ точка (х;у)→О(0;0). Положение равновесия в этом случае называют устойчивым фокусом (рис.4).
2.2. Если а > 0, то точка покоя - неустойчивый фокус, т.е. при t→ точка (х;у) бесконечно удаляется от начала координат (рис.5).
2.3. Если а=0, общее решение системы принимает вид х= С11 cosβt + С12 sinβt, y= С21 cosβt + С22 sinβt (5).
Фазовые траектории являются эллипсами с центром в точке (0;0). Положение равновесия называется центром (рис. 6).
3. Корни кратные, т.е. λ1=λ2= λ. Общее решение имеет вид: х=(С1+С2t)eλt , y= (С3+С4t)eλt (6),
где C1, C2, C3, C4 - линейные комбинации произвольных постоянных С1,С2 .
При λ<0 и t→точка (х;у)→(0;0). Положение равновесия будет асимптотически устойчивым и называется вырожденным узлом (рис.7).
При λ>0 и t→точка бесконечно удаляется от начала координат (х;у). Вырожденный узел будет неустойчивым (рис.8).
18.Комплексные числа, арифметические операции. Формулы Эйлера. Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (a;b), которая записывается в виде z = (a;b). Число а называется действительной частью комплексного числа z (a=Rez), а число b – мнимой частью z (b=Imz). Любое действительное число а можно рассматривать как пару (а,0)С. Особую роль играет пара (0,1), т.к. (0,1)2=-1. Пару (0,1) обозначают буквой i, где i – мнимая единица, т.е. i2=-1. С учётом последнего обозначения комплексное число можно записать в виде: z=a+ib. Такую форму записи называют алгебраической. Арифметические операции: 1.z1 + z2 =(a1,b1) + (a2,b2) =(a1 + a2, b1 + b2). 2. z1z2= (a1,b1) (a2,b2) = (a1a2 – b1b2,a1b2 +a2b1).
Число z1=a-ib называют сопряженным к комплексному числу z и обозначают =a-ib.
Комплексные числа обладают всеми свойствами действительных чисел, за исключением отношения порядка. Имеет место формула Эйлера: еiφ=cosφ +isinφ, e0=1, e2πki=-1, значит функция ея периодическая. T0=2πi – её минимальный период. С учётом формулы Эйлера получают: cosφ= (eiφ + e-iφ)/2; sinφ= (eiφ - e-iφ)/2i.