![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Дифференциальные уравнения(д.У.) первого порядка. Общее и частное решение д.У. Задача Коши.
- •2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения (д.У.) первого порядка.
- •2.Однородные ду
- •5.Ду высшихпорядков: постановка задачи Коши, теорема сущ-ния и един-ти решения задачи Коши.
- •8.Линейная зависимость,независимость ф-ий. Определитель вронского.
- •9.Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэф-тами. Характеристическое ур-е Зависимость общего решения от корней характер-го ук-я.
- •12Линейные однородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами
- •13.Линейные неоднородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы со специальной правой частью.
- •15 Устойчивость по Ляпунову
- •16 Устойчивость по первому приближению
- •19.Предел и непрерывность функций комплексной переменной.
- •22.Элеменарные функции комплексной переменной.
- •25.Теорема Коши и интегральная формула Коши.
- •26. Cтепенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля, радиус сходимости
- •27. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора
- •28. Нули аналитических функций. И их классификация.
- •29. Ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация.
- •32. Вычет аналитических функций.
- •35.Классификац.Ур. Матфизики.
- •42. Оригинал и изображение. Св-ва преобразования Лапласа: линейность, подобие.
- •44. Формулы обращения преобразования Лапласа.
- •45. Применение преобразования Лапласа: теоремы обращения.
- •46. Применение преобразования Лапласа. Решение линейных д. У. С помощью преобразований Лапласа.
- •47. Применение преобразования Лапласа к решению физических задач.
- •48. Решение ур-ий с частными производными с помощью преобразования Лапласа.
42. Оригинал и изображение. Св-ва преобразования Лапласа: линейность, подобие.
Операционное
исчисление – один из методов матем.
анализа, позволяющий сводить решения
некоторых задач к более простым алгебр.
ур-ям. 1. От неизвестных функций переходят
к некоторым др. ф-ям – изображениям.
2.
Производят все необходимые вычисления
над изображениями. 3. Получив результат,
возвращаются назад к искомым функциям
– оригиналам. Оригинал
– комплексная ф-ия f(t)
действительного переменного t,
удовлетворяющую следующим условиям:
1. f(t)>0,
если t<0;
2. f(t)
– кусочно непрерывная, интегрируемая
ф-ия на любом конечном интервале оси
Оt;
3. с возрастанием t
модуль ф-ии f(t)
растёт не быстрее некоторой показательной
ф-ции, т.е. сущ-ют числа М>0 и
≥0, такие, что для всех
t
имеем | f(t)|
≤ Mexp(
).
Нижняя грань множества чисел
,
удовлетворяющих этому неравенству наз.
показателем
роста ф-ции f(t).
Изображением ф-ции
f(t)
(по Лапласу) наз. ф-ия f(t)
комплексного переменного p=s+iδ,
определяемая равенством: F(p)
=
f(t)
dt
, которое ставит в соответствие оригиналу
f(t)
его изображение F(p)
и называется преобразованием Лапласа.
Соответствия между оригиналом и
изображение записывается в виде f(t)
F(p).
Св-ва
преобразований Лапласа.
Пусть f(t),
g(t),
h(t)
– оригиналы, а F(p),
G(p),
H(p)
– изображения. 1.
Линейность.
Для любых комплексных постоянных α и β
имеет место αf(t)
+ βg(t)
αF(p)
+ βG(p),
т.е. линейной комбинации оригиналов
соответствует линейная такая же
комбинация изображений. 2.
Подобие.
Для любого α>0 имеет место f(αt)
F(
), т.е. умножение аргумента на положительное
числоα
приводит к делению изображения аргумента
на это число. Док-во: пусть αt
= τ,
тогда f(αt)
f(αt)
dt
=
f(τ)exp(
)dτ
=
F(
).
43. Св-ва преобразования Лапласа: дифференцирование, интегрирование, запаздывание, смещение, свёртка.
Св-ва
преобразований Лапласа.
Пусть f(t),
g(t),
h(t)
– оригиналы, а F(p),
G(p),
H(p)
– изображения. 1.
Дифференцирование оригинала.
Если f
’(t),
f
‘’(t),…,
t)
– оригиналы и f
(t),
f
‘(t),…,
t)
– непрерывны, то: f
’(t)
p∙F(p)-f(0);
f
‘’(t)
F(p)-pf(0)-f
’(0);
t)
F(p)
-
f(0)
-…-
0).
2.Дифференцирование
изображения.
Дифференцированию изображения
соответствует умножение его оригинала
на (–t),
т.е. F
’(p)
–t∙f(t);
(p)
=
∙
∙f(t).
3.
Интегрирование оригинала.
f(τ)dτ
,
т.е. интегрированию оригинала от 0 доt
соответствует деление его изображения
на p.
4.
Интегрирование изображения.
Если
F(z)dz
сходится, то
F(z)dz
, т.е. интегрированию изображения отp
до
соответствует деление его оригинала
наt.
5.
Запаздывание.
Для любого τ
>0 имеем f(t-τ)
F(p),
т.е. запаздывание оригинала на положительную
величину τ
приводит к умножению изображения без
запаздывания на
.
Док-во:
так как f(t-τ)=0
при t<
τ,
то делая замену переменных t-τ
=
, получим: f(t-τ)
f(t-
τ)
dt
=
d
=
F(p).
6.
Смещение.
Умножение оригинала на
приводит к смещению переменной p,
т.е.
f(t)
F(p-α),
– произвольное комплексное число.
Док-во:
f(t)
f(t)
dt
= F(p-α).
7.
Свёртка.
Преобразованием
Лапласа
свёртки
двух
оригиналов
является
произведение изображений этих оригиналов.
H{f(t)*g(t)}=H{f(t)}*H{g(t)}.