![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Дифференциальные уравнения(д.У.) первого порядка. Общее и частное решение д.У. Задача Коши.
- •2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения (д.У.) первого порядка.
- •2.Однородные ду
- •5.Ду высшихпорядков: постановка задачи Коши, теорема сущ-ния и един-ти решения задачи Коши.
- •8.Линейная зависимость,независимость ф-ий. Определитель вронского.
- •9.Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэф-тами. Характеристическое ур-е Зависимость общего решения от корней характер-го ук-я.
- •12Линейные однородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами
- •13.Линейные неоднородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы со специальной правой частью.
- •15 Устойчивость по Ляпунову
- •16 Устойчивость по первому приближению
- •19.Предел и непрерывность функций комплексной переменной.
- •22.Элеменарные функции комплексной переменной.
- •25.Теорема Коши и интегральная формула Коши.
- •26. Cтепенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля, радиус сходимости
- •27. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора
- •28. Нули аналитических функций. И их классификация.
- •29. Ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация.
- •32. Вычет аналитических функций.
- •35.Классификац.Ур. Матфизики.
- •42. Оригинал и изображение. Св-ва преобразования Лапласа: линейность, подобие.
- •44. Формулы обращения преобразования Лапласа.
- •45. Применение преобразования Лапласа: теоремы обращения.
- •46. Применение преобразования Лапласа. Решение линейных д. У. С помощью преобразований Лапласа.
- •47. Применение преобразования Лапласа к решению физических задач.
- •48. Решение ур-ий с частными производными с помощью преобразования Лапласа.
46. Применение преобразования Лапласа. Решение линейных д. У. С помощью преобразований Лапласа.
Найдём
частное решение д.у.:
+
+
… +
(y)’
+
y
= f(t)
– формула (1), начальные условия которого
y(0)=
;y
’(0) =
,…,
(0)
=
,где
,
,…,
-
заданные числа. Пусть ф-яy(t),все
её производные и f(t)
являются оригиналами. Тогда y(t)
Y(p);
y’(t)
pY(p)
-
;f(t)
F(p).
Перейдём в (1) от оригиналов к изображениям:
Y(p)
-
- … -
)
+
(
Y(p)
-
- … -
)
+…+
(p
Y(p)-
)
+
Y(p)=F(p).
Полученное ур-е называют операторным(ур-ем
в изображениях). Решаем относительно
Y(p):
Y(p)(
+
+…+
p
+
)
= F(p) +
(
+
+…+
)
+
(
+
+…+
)
+…+
, т.е.Y(p)
(p)
= F(p)
(p)
, где
(p)
и
(p)
– алгебраические многочлены от p
степени n
и n
– 1, соответственно. Откуда Y(p)
= F(p)
(p)/
(p)
- ф-ла (2). Полученное равенство наз.
операторным
решением д.у. (1).
Если все начальные условия равны нулю,
т.е. y(0)=
y
’(0)= …=
(0)
= 0, то выражение примет вид:Y(p)
= F(p)
/
(p)
– формула (3). Находя оригинал y(t),
соответствующий изображению (2), получим
частное решение д.у. (1). Полученное
решение y(t)
во многих случаях оказывается справедливым
при всех значениях t
(а не только при t
≥ 0). Указанным методом можно найти и
общее решение д.у. (1), для этого начальные
условия запишутся в виде: y(0)=
,y
’(0)=
,…,
(0)
=
.
При решении д.у. иногда удобно использовать
формулу Дюамеля. Рассмотрим ур-е (1) при
нулевых начальных условияхy(0)=
y
’(0)= …=
(0)
= 0. Предположим, что известно решение
(t)
ур-ия (1) при правой части f(t)
= 1 и нулевых начальных условиях. Так как
f(t)
=1
F(p)
= 1/p
, формула (3) будет
(p)=
1/(p
(p))
– формула (4), где
(p)
– изображение решения
(t).
Из (3) и (4) находим Y(p)=
pF(p)
(p).
Согласно формуле Дюамеля: pF(p)
(p)
f(t)
(0)
+
(f(τ)
(t-τ))dτ.
Так как
(0)=
0, тоpF(p)
(p)
(f(τ)
(t-τ))dτ.
Тогда решение ур-я (1) при нулевых начальных
условиях будет иметь вид: y(t)
=
(f(τ)
(t-τ))dτ,
где
– решение ур-я (1) приf(t)
=1 и нулевых начальных условиях.
47. Применение преобразования Лапласа к решению физических задач.
Пусть
i(t),
u(t)
– ток и напряжение. Тогда I(p)
i(t);
U(p)
u(t)
операторный ток и напряжение соответственно.
(t)
= R
i(t)
– напряжение на резисторе,
(t)
= L
d(i(t))/dt
–напряжение на катушке с индуктивностью
L.
(t)
=
i(τ)dτ
+
(0)
– напряжение на конденсаторе, с ёмкостью
С. Переходя к изображениям:
(p)
= R
I(p),
(p)
= pLI(p)
– Li(0),
(p)
=
I(p)
+
(0).
Используя закон Ома в операторной форме,
для произвольного участка цепи можно
записатьU(p)
= Z(p)
I(p),
где Z(p)
– операторное сопротивление указанного
участка цепи. Тогда для участка цепи с
R,
L,
C
при начальных условиях операторное
сопротивление имеет вид
(p)=
R,
(p)
= Lp,
(p)=
p
соответственно. При ненулевых начю
усл-ях у имеющимся в цепи источникам
э.д.с. добавляются дополнительные
источники энергии. Величины э.д.с.
дополнительных источников определяются
запасами энергии в индуктивности и
ёмкости и равно в операторном виде
соответственно Li(0)
и –
(0).
48. Решение ур-ий с частными производными с помощью преобразования Лапласа.
Рассмотрим
д.у. a∙
+b∙
+cu
+∙
∙
+
∙
=
0 – формула(1),a,
b,
c,
,
- непрерывные ф-ии, зависящие только от
х, заданные на отрезке [0,
].
Считаем, чтоa
> 0 и будем рассматривать 2 случая: 1.
<
0 (гиперболический случай), 2.
0,
< 0 (параболический случай). Нужно найти
решениеu(x,t)
д.у. (1) для 0 ≤ x
≤
иt
≥ 0, удовл-щее нач. условиям u(x,0)
=
(x)
(для параболического случая), u(x,0)
=
(x),
=
(x)
(для гиперболического), и краевым условиям
u(0,t)=
f(t),
α
(
,t)
+ β∙
(
,t)
=
u(
,t),
где α, β,
-
постоянные. При
→
второе граничное условие отпадает.
Предполагая, что u,
и
,
рассматриваемые как функции переменнойt,
являются оригиналами, обозначим через
U(p,x)=
u(x,t)exp(-pt)dt
изображение функции u.
Тогда имеем
exp(-pt)dt
=
,
exp(-pt)dt
=
.
По правилу дифференцирования оригиналов:
pU
– u(x,0),
U
– u(x,0)p
-
(x,0).
С учётом начальных условий:
pU
–
(x),
U
–
(x)p
-
(x).
Предполагаем, что f(t)
является оригиналом и F(p)
f(t),
тогда из граничных условий имеем
=F(p),
(α
+
β(pU-
))
=
.
Операционный метод приводит решение
нестационарной задачи для ур-ия (1) с
частными производными к решению
обыкновенного д.у.a∙
+b∙
+AU
+ B,
где A
= с +
+
p,
B=
–
p
-
-
,
p
– комплексный параметр, при граничных
условиях:
=F(p),
(
+ (βp
–
)U
- β
)
= 0.