16 Предел функции и неравенства.

Теорема 11. Пусть f : X → Y , f(X) = Y , g : Y → R и limf(x) = y0, x→x0, limg(y) = c. Если существует проколотая окрестность V˙ (x0) точки x0, что f(x) =/ y0 ∀x ∈ V˙ (x0), то limϕ(x) = limg(f(x))= c. x→x0

Доказательство. Имеем (limf(x) = y0)⇔ (∀U(y0) ∃V˙ (x0) ⊂ X : ∀x ∈ V˙ (x0) ⇒ f(x) ∈ U(y0))

Так как по условию f(x) =/ y0 в некоторой V˙ (x0), то

∀U˙ (y0) ∃V˙ (x0) ⊂ X : ∀x ∈ V˙ (x0) ⇒ f(x) ∈ U˙ (y0).

Так же имеем (limg(y) = c, y→y0)⇔(∀V (c) ∃U˙ (y0) ⊂ Y : ∀y ∈ U˙ (y0) ⇒ g(y) ∈ V (c))

Тогда в итоге

∀V (c) ∃V˙ (x0) ⊂ X : ∀x ∈ V˙ (x0) ⇒ g(f(x))∈ V (c).

17 Односторонние пределы

Определение 5. Число y0 называется левосторонним пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого ε > 0

существует δ > 0, такое, что ∀x ∈ V˙δ(x0 − 0) ⇒ |f(x) − y0| < ε и обозначается limf(x) = y0, x→x0−0

Определение 6. Число y0 называется правосторонним пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого ε > 0

существует δ > 0, такое, что ∀x ∈ V˙δ(x0 + 0) ⇒ |f(x) − y0| < ε и обозначается limf(x) = y0, x→x0+0

Теорема 12. Чтобы функция f(x) в точке x0 имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она имела оба одно-

сторонних предела равных между собой. Тогда общее значение этих односторонних пределов равно пределу функции

f(x) в точке x0.

18.Предел. Отнош. Синуса. К. Аргумент.

Докажем, что Так как f(x) =является четной функцией, то рассмотрим ее только на интервале (0;) Возьмем дугу AM единичного круга, соответствующую углу, радианная мера которого равна x. Площадь сектора OAM заключена между площадями треугольников OMA и OTA: SOMA < Sсек < S4OAT⇔ · |OA| · |PM| <· |OA|²· x < · |OA| · |AT|. Так как |OA| = 1, |MP| = sin x, |AT| = tg x, тоsin x < x < tg x ⇔ 1 < ·<⇔ cos x < < 1. В силу четности функцииcos x и последнее двойное неравенство справедливо и для интервала ( -; 0). Таким образом, для любого x∈( -; 0) ∪(0;) выполняется неравенство cos x < < 1 Переходя к пределу при

x → 0 получим

т.е. =1 – который называют первым замечательным пределом.

19 Число е.

Пример 1. Доказать справедливость неравенства (неравенство Я. Бернулли)

Решение. Докажем, основываясь на методе математической индукции.

1. При n = 1 утверждение, очевидно, справедливо. 2. Предположим, что оно справедливо при n = k, т.е. верно (1 + α) ^k > 1 + kα.

3. Докажем, что оно справедливо при n = k+1.Действительно Согласно методу математической индукции заключаем, что утверждение справедливо∀n ∈ N. Рассмотрим последовательность {x_n}, где Покажем, что последовательность {y_n}, где убывающая. Действительно∀n 2, находим

Очевидно, что все члены последова-тельности {y_n} имеют положительные члены, а следова-тельно, согласно теореме Вейерштрасса, она имеет предел. Тогда

Определение 1. =е

20Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Символы ~, о, О. Сравнение функций.

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или бесконечно малой) при x → x0 если limf(x) = 0.

Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или бесконечно большой) при x → x0 если limf(x) = ∞.

Бесконечно малые функции принято обозначать строчными буквами греческого алфавита α, β, γ,...

Теорема 13.

Если функция f(x) при x → x0 – бесконечно большая, то функция 1/f(x) при x → x0 – бесконечно малая.

Если функция f(x) при x → x0 – бесконечно малая, то функция 1/f(x) при x → x0 – бесконечно большая.